Métodos de demostración

eminem18211
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Métodos de demostración

Mensajepor eminem18211 » 28 Sep 2018, 00:14

Hola amigos, alguien me podría explicar como se resuelve este ejercicio. Estoy viendo Inducción matemática y me cuesta un poco entender :roll:

Probar que
$$\sqrt{3 }$$
es un numero irracional


Porque métodos seria posible demostrar eso?

Karma
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Re: Métodos de demostración

Mensajepor Karma » 28 Sep 2018, 11:56

No se me ocurre una demostración por inducción, solo por reducción al absurdo.

Si $\sqrt{3}$ es racional, existen dos naturales $a,b$ coprimos tales que $\sqrt{3} = a/b$. De donde $$ 3b^2 = a^2$$ Entonces, $a^2$ es múltiplo de 3 y, por tanto, $a$ es múltiplo de 3. Supongamos que $a = 3·k$.
Sustituyendo en $3b^2 = a^2$, $$3·b^2 = (3·k)^2 = 3^2·k^2$$ Tenemos de nuevo que $b^2$ y $b$ son múltiplos de 3. Absurdo porque $a$ y $b$ son coprimos (no pueden ser ambos múltiplos de 3).
Un saludo!
Karma (Moderador Global)

eminem18211
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Re: Métodos de demostración

Mensajepor eminem18211 » 28 Sep 2018, 12:31

Gracias :D


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