derivada de una funcion

chucho11028
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derivada de una funcion

Mensajepor chucho11028 » 19 Ago 2018, 07:04

Saludos
esta pregunta esta relacionada a la fórmula general de la derivada.
digamos que tengo la funcion f(x) = x^2
si aplico esta formula

lim [f(x+h) - f(x) ]/ h
h--0

entones su derivada sería [(x+h)^2 - x^2]/h = [x^2+2xh+h^2 - x^2]/h = 2x-h = 2x

esa misma respuesta la puedo obtener si simplemente aplico el procedimiento de bajar el exponente y restarle 1 al 2. Pero me interesa entender la derivada

LUego, mi pregunta es con respecto a esta función

s(t)=27-(3-10t)^3

puedo obtener el resultado aplicando las propiedades pero no aplicando la fórmula anterior que se basa en la pendiente.

lim [f(x+h) - f(x) ]/ h
h--0

No la veo
agradecería quien pudiese mostrarme los pasos

Atentamente

Jose

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Jollofa
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Re: derivada de una funcion

Mensajepor Jollofa » 20 Ago 2018, 18:45

Puedes calcular la derivada usando las reglas de derivación y la regla de la cadena. La función $f(t) = 27 - (3-10t)^3$ es una resta, su derivada es la resta de las derivadas: $$f'(t) = (27)' - ((3-10t)^3)'$$ La derivada de 27 es 0: $$f'(t) = -((3-10t)^3)'$$ La derivada del cubo ya sabes cuál es, pero tienes que aplicar la regla de la cadena y multiplicar por la derivada de la base de la potencia: $$f'(t) = -3·(3-10t)^2·(3-10t)'$$ La derivada de $3-10t$ es $-10$. por tanto, $$f'(t) = -3(3-10t)^2·(-10) =$$ $$= 30·(3-10t)^2$$

Ejemplos: Cálculo de derivadas (reglas de derivación y de la cadena)

La fórmula que dices es la definición formal de la derivada.

Por ejemplo, si aplicas la fórmula a la función $f(x) = x^n$, entonces obtienes que su derivada es $$f'(x) = n\cdot x^{n-1}$$ Pero no lo intentes con esta función ya que el límite es complicado (porque tienes la potencia $n-$ésima de una suma y hay que usar el teorema del binomio).

Los matemáticos calculan con la definición formal las derivadas de la suma de funciones, de la resta, del producto, del cociente, de la potencia, del logaritmo, etc. Es de donde salen las reglas de derivación. Por ejemplo, la derivada del producto es $(f·g)' = f'·g + g'·f$ y la de la suma es $(f+g)' = f' + g'$.

Además, está la regla de la cadena, que proporciona la derivada de la composición de funciones (función de otra función): $$(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)$$

Todas las funciones son composiciones de productos, cocientes, potencias, etc. de funciones, así que no es necesario aplicar la definición formal para calcular su derivada. Esto hace que el cálculo de derivadas sea mecánico y muy muy sencillo.

La función $f(t) = 27 - (2-10t)^3$ es la resta de dos funciones: $f_1(x) = 27$, $f_2(x) = (2-10t)^3$. A su vez, $f_2$ es función potencia de una resta de funciones.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

Moderador global.

chucho11028
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Re: derivada de una funcion

Mensajepor chucho11028 » 20 Ago 2018, 21:50

Saludos
Muy pero muy agradecido por tomarte el tiempo en darme una explicacion tan tallada sin embargo en realidad si comprendo la regla de la cadena, mi problema es intentar resolver el mismo problema con la definicion formal de la derivada ya que loq ue quiero es verdad si en realidad visualizo o puedo llegar a visualizar bien ese concepto. Quiero decir el concepto basado en esta formula (la cual sale de la aplicacionde la pendeiente claro esta)

lim [f(x+h) - f(x) ]/ h
h--0

En realidad quisiera ver si se puede ingresar la funcion f=27-(3-10t)^3 directamente pero creo que si quiero aplicar la formula de la derivada tendria que descomponer primero el binomio al cubo y luego apliucar la formula de esta manera:

lim {[1000(t+h)^3 - 900(t+h)^2 + 270(t+h)] - [1000t^3-900t^2+270t] } / h
h--0

Asumo que por eso se desarrollo la regla de la cadena y todas las demas propiedades de la derivacion ya que el porceso es muy largo. Al menos que alguien en este frum me indique que los matematicos usan el procedimiento de la formula general de la derivacion para algun tipo de demostracion.

En conclusion, mi pregunta era mas dirigida a una consulta academica por eso agradezco profundamente que tomara su tiempo en explicarme la regla de la cadena

Desde Canada, atentamente
Jose


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