Duda sumatorio de serie geométrica

[lamartinada]

Buenas a todos, soy nuevo en el foro. Me presento como ingeniero técnico industrial y espero poder compartir conocimientos con vosotros y poder hallar respuestas a nuestras dudas de forma conjunta. Colaboraré con todos los miembros en aquellos temas en los que tenga conocimiento

Llevo un tiempo tratando de encontrar el sumatorio de una serie cuyo resultado tienda a la unidad. He encontrado el siguiente que expongo:

$$\sum_{i=1}^n{}\frac{1}{2^n}$$

Este sumatorio cumple las características que planteo, pero no me sirve por que necesito que se aproxime al resultado más lentamente, es decir, que no alcance valores tan próximos al resultado total de forma tan rápida.

Estoy seguro que hay alguna serie que cumple con lo que comento. ¿Alguien sería tan amable de echarme una mano?

Agradezco de antemano vuestra ayuda. Un saludo a todos!

[Jollofa]

Para que no sea complicada la serie, utilizaremos una sucesión geométrica:

Primer término: $a_1$
Razón: $r$
Término general: $a_n = a_1\cdot r^{n-1}$

Si $0<r<1$, la suma de todos los términos es $$ \sum _{n=1}^{\infty} a_n = \frac{a_1}{1-r}$$

Si $r=0.5$ y $a_1 = 0.5$, tenemos la serie que has proporcionado.
Para que la serie sea más lenta, podemos exigir, por ejemplo, que comience con $a_1 = 0.2 = 1/5$. Hallamos la razón $r$ para que la suma sea 1: $$ \sum _{n=1}^{\infty} a_n = \frac{0.2}{1-r} = 1$$ $$0.2 =1-r$$ $$r = 1-0.2=0.8 = 4/5$$ Por tanto, el término general es $$ a_n = (1/5)(4/5)^n$$ y tenemoss $$ \sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{5}\left( \frac{4}{5}\right)^{n-1} = 1$$ Operando un poco: $$ \sum _{n=1}^{\infty} \frac{4^{n-1}}{5^n} = 1$$ Los primeros términos de la serie son 0.2, 0.36, 0.488, 0.5904, 0.67232, 0.737856, ... Los de tu serie son 0.5, 0.75, 0.875, 0.9375,...

[lamartinada]

Excelente respuesta. Aunque comienza la serie con valores menores que la serie propuesta, sigue siendo un aumento muy rápido de los valores en los primeros términos. He estado jugando con los valores del primer término y de la razón, y he conseguido disminuir la tendencia del arranque.

Pero visto los resultados, igual debo replantear el problema, puesto que no es lo que esperaba. Es posible que el método que he elegido no sea el óptimo para hallar la respuesta que busco. Corregidme por favor si me equivoco.

El fin es hallar una serie finita de números, definida la cantidad de estos por una variable (pongo 3200 como ejemplo), cuyo sumatorio sea igual a la unidad, y cuya tasa de aumento sea constante, es decir, que el siguiente término de cada miembro de la sucesión sea un múltiplo de una constante determinada.

Espero haberme explicado correctamente. Si no, puede aclarar cualquier duda.

Muchas gracias por atender mi petición

[Jollofa]

La verdad es que no entiendo muy bien lo que buscas...

Llevo un tiempo tratando de encontrar el sumatorio de una serie cuyo resultado tienda a la unidad

$$ \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{4^k}{5^{k-1}} = 1$$

El fin es hallar una serie finita de números [...] cuyo sumatorio sea igual a la unidad

$$ \sum_{k=1}^{3200} \frac{k}{5121600} = 1$$

[lamartinada]

Me refería a que además que el sumatorio sea igual a 1, la tasa de crecimiento sea constante.

Perdón si no he sabido explicarme correctamente desde un primer momento. Mis disculpas

[Jollofa]

La sucesión (geométrica) de tu serie comienza en 0.5 y tiene razón 0.5. La que te propuse yo comienza en 0.2 y tiene razón 0.8. ¿Por qué una es buena y otra no? ¿Cómo calculas tú la tasa de crecimiento de una serie?