Funciones trigonometricas - duda

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Funciones trigonometricas - duda

Mensajepor speedtest » 12 Abr 2017, 07:11

Hola buenas noches, me podrias ayudar a obtener el valor exacto de:

Cos^1(1/2)
Necesito que me lo expliqueis por favor.
La respuesta tiene que ser pi/3.

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Jollofa
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Re: Funciones trigonometricas - duda

Mensajepor Jollofa » 12 Abr 2017, 09:57

Con $cos^{-1} (x)$ no se refieren a $\frac{1}{cos(x)}$ sino a la función inversa del coseno: $arccos(x)$ La función coseno toma valores de $[0,\pi]$ en $[-1,1]$, es decir, $$cos: [0,\pi] \rightarrow [-1,1]$$ mientras que su inversa es $$arccos: [-1,1] \rightarrow [0,\pi]$$ Si $\alpha$ es un número de $[0,\pi]$ y $cos(\alpha) = \beta$, entonces $arccos(\beta) = \alpha$.

Por tanto, $$cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$$ puesto que $$cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $$ Dicho en un tono coloquial, el arcocoseno del coseno de un ángulo $\alpha$ es el propio ángulo $\alpha$. Matemáticamente, $$arccos(cos(\alpha)) = \alpha ,\forall \alpha\in [0,\pi]$$ $$cos(arccos(\beta))=\beta ,\forall \beta\in [-1,1]$$
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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Re: Funciones trigonometricas - duda

Mensajepor speedtest » 13 Abr 2017, 01:43

Hola buenas tardes, gracias por tu respuesta.
Pero no la logro comprender... no entiendo de donde sacas la limitante de que coseno solo puede ser de [0,π] y como esto al mismo tiempo es [−1,1].
Disculpa mi ignorancia y si ves conveniente sugiere me por favor algún tema, libro o video que creas conveniente para mi comprensión.

Imagen

* No se si es de aquí que sacas los primeros las limitantes.

Gracias.

Vicent
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Re: Funciones trigonometricas - duda

Mensajepor Vicent » 13 Abr 2017, 10:30

speedtest, creo que el problema no es tanto con ese ejercicio en particular, sino con la comprensión de la función del coseno. Por un lado, el coseno es una función que a cualquier valor de los números reales le otorga un valor en el intervalo $[-1,1]$. Este codominio (o recorrido) es $[-1,1]$ por definición del coseno. El coseno se define en una circunferencia de radio 1, de forma que sus valores siempre quedan entre -1 y 1.

Por otro lado, los ángulos pueden expresarse en radianes (rad). Una vuelta completa (es decir, 360º) son 2$\pi$ rad. La función del coseno es periódica con período 2$\pi$ rad. Así, normalmente se presenta con el dominio $[0,2\pi]$, pues conociendo lo que ocurre en este intervalo se conoce lo que ocurre en todo $\mathbb{R}$:

$$ cos: [0,2\pi]\rightarrow [-1,1].$$

Si expresas los ángulos en grados, sería:

$$ cos: [0,360]\rightarrow [-1,1].$$


Si no lo tienes muy claro, busca el dibujo de la circunferencia unidad para entender bien el coseno (y el seno y la tangente). Como te han indicado, $cos^{-1} (1/2)$ es el ángulo tal que el valor de la función coseno en ese ángulo nos da 1/2. Cuando uno empieza a trabajar con senos y cosenos, hay unas razones que aprende de memoria. Entre ellas, está la de $cos(60)=1/2$. Si lo quieres expresar en radianes, 60º son $\frac{\pi}{3}$ rad.


¡Espero haberte ayudado en algo!

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Jollofa
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Re: Funciones trigonometricas - duda

Mensajepor Jollofa » 13 Abr 2017, 13:18

Creo que no tienes claro los conceptos:

El coseno es una función a la que le proporcionas un ángulo y le asigna un número entre -1 y 1.
Por ejemplo, $$cos(0^\circ ) = 1$$ $$cos(180^\circ ) = -1$$ $$cos(90^\circ ) = 0$$ La función arcocoseno es la función inversa. Esto significa que le proporcionas un número entre -1 y 1 y te asigna el ángulo que tiene por coseno dicho número. Por ejemplo, $$ arccos(1) = 0^\circ$$ $$arccos(-1) = 180^\circ $$ $$arccos(0) = 90^\circ$$ Como decía Vicente, un ángulo lo puedes expresar en grados ($^\circ $) o en radianes. Por ejemplo, $0^\circ$ son 0 radianes, $180^\circ$ son $\pi$ radianes, $90^\circ $ son $\pi /2$ radianes.

Para pasar de grados a radianes, multiplicas por $\pi $ y divides entre 180. Para pasar de radianes a grados, multiplicas por 180 y divides entre $\pi$.
Por ejemplo, pasamos $\frac{3\pi}{4}$ radianes a grados: $$ \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi \cdot 180}{4\pi} = \frac{3 \cdot 180}{4}^\circ = 135^\circ$$

PD: para saber cuánto es el coseno de un ángulo debes usar la calculadora o mirar en alguna tabla (por ejemplo, en Wikipedia hay tablas). Lo normal es aprenderse de memoria algunos valores de la tabla...


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