Demostración de subespacios

JoanL
Aprendiz
Mensajes: 1
Registrado: 21 Oct 2019, 23:11

Demostración de subespacios

Mensajepor JoanL » 21 Oct 2019, 23:23

Hola, Comunidad de matesfaciles.

Dada una matriz A de orden m x n, podemos considerar sus m filas
como vectores de R^n y al subespacio U de R^n generado por estos m vectores.
De la misma forma para la matriz B, que se obtiene al reducir A a la forma
escalonada, podemos considerar al subespacio W generado por los m vectores
dados por sus filas.
a) Pruebe que U = W.
b) Pruebe también que los vectores dados por las filas no nulas de B son
L.I.

Tengo un dilema con este ejercicio. Me pide que pruebe la igualdad de los subespacios, pero realmente no tengo claro qué hacer.
Estaba pensando en expresar que si U=UuW y W=UuW, entonces U=W pero no se cómo demostrarlo.

Avatar de Usuario
Jollofa
Oro
Mensajes: 389
Registrado: 21 Ago 2015, 21:07

Re: Demostración de subespacios

Mensajepor Jollofa » 30 Oct 2019, 12:09

La forma escalonada de una matriz se calcula operando entre filas, es decir, cambiando el orden de las filas y cambiando filas por combinaciones lineales de filas.
Por tanto, si $a_1, a_2,...,a_n$ son las filas de $A$ y $b_1, b_2,...,b_n$ son las de $B$, por lo dicho anteriormente, cada $a_i$ puede escribirse como combinación lineal de las filas de $B$, es decir, $$ a_i \in \langle b_k | 1\leq k \leq n \rangle , \forall 1\leq i \leq n$$ Del mismo modo, $$ b_i \in \langle a_k | 1\leq k \leq n \rangle , \forall 1\leq i \leq n$$ Así se demuestran ambas inclusiones de la igualdad $U=W$.

Que los filas no nulas de la forma escalonada sean vectores LI es obvio puesto que el elemento principal de cada fila (el primer elemento no nulo de izquierda a derecha) aumenta cuando más inferior sea la fila. Si el elemento principal de la fila 1 es la posición $k$, los elementos principales de las siguientes filas son mayores que $k$. Por tanto, dicho elemento de la fila nunca puede ser combinación lineal del elemento $k$ de las otras puesto que éstos son 0.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

Moderador global.


Volver a “Álgebra”

¿Quién está conectado?

Usuarios navegando por este Foro: No hay usuarios registrados visitando el Foro y 0 invitados