Interpretar gráficas o tablas de funciones (lineales, cuadráticas, polinomiales, exponenciales y logarítmicas)

EsmeJ
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Interpretar gráficas o tablas de funciones (lineales, cuadráticas, polinomiales, exponenciales y logarítmicas)

Mensajepor EsmeJ » 29 Nov 2016, 14:38

Analizar la siguiente gráfica que representa una función de la posición de un objeto con respecto del tiempo: en el eje x se encuentra el tiempo en minutos, en el eje y se encuentra su posición en el momento t (tiempo).

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screenshot-148.247.220.212 2016-11-29 07-36-49.jpg (15.68 KiB) Visto 921 veces


Analiza la gráfica y responde:
¿Qué tipo de movimiento representa esta gráfica? Sabiendo que la velocidad es la derivada de la posición con respecto del tiempo ¿Qué velocidad lleva el objeto los primeros cinco minutos? ¿Existe cambio de velocidad en algún momento?

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Jollofa
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Re: Interpretar gráficas o tablas de funciones (lineales, cuadráticas, polinomiales, exponenciales y logarítmicas)

Mensajepor Jollofa » 29 Nov 2016, 19:49

La distancia recorrida $x$ en un movimiento rectilíneo uniforme en función del tiempo $t$ es $$x(t) =v\cdot t$$
En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es $$x(t)= \frac{1}{2}a\cdot t^2 + v_0\cdot t$$
donde $v$ es la velocidad, $v_0$ es la velocidad inicial y $a$ es la aceleración.

De estas ecuaciones se deduce que sus gráficas son una recta y una parábola, respectivamente (porque una es un polinomio de grado 1 y la otra es de grado 2).

En la gráfica del problema, para $0<t<5$ se da el primero de estos movimientos y el segundo a partir de $t=5$.

En los primeros 5 minutos, $t<5$, la ecuación es lineal, es decir, es de la forma $x(t)=m\cdot t + n$ y su derivada es la velocidad:
$$ v(t) = \frac{\partial x}{\partial t} = x'(t) = m\cdot 1 + 0 = m$$
(las dos primeras igualdades son formas distintas de escribir la derivada de $x$ en función de $t$)
Esto significa que la velocidad es constante $v(t) = m$ (movimiento rectilíneo uniforme).

A partir de $t=5$, la gráfica se corresponde a una función del tipo $x(t) = m\cdot t^2 + n\cdot t + k$ y su derivada es
$$v(t)= x'(t) = 2m\cdot t + n$$
Esto significa que la velocidad es uniformemente acelerada (con aceleración $a = 2m$) y velocidad inicial $v_0 = n$

Es posible calcular las ecuaciones a partir de la gráfica, pero creo que lo importante es el razonamiento.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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