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[Lucerocoyoli]

¿Cuanto debe medir el radio de la cara basal de un cono si el radio del sector circular es 8 y el ángulo central es 120° Cual es su altura?

[Kernel]

Tenemos los datos

Llamaremos $r $ al radio de la cara basal.
La longitud del arco del sector circular es
$$L=2\pi r$$
ya que es la longitud de la circunferencia de la cara basal.
Por otro lado, sabemos que la longitud del arco del sector circular es
$$L=R \alpha$$
donde $\alpha $ es el ángulo central en radianes. Por tanto,
$$\alpha = \frac{120 \pi}{180} =\frac{2\pi}{3}$$

Igualando las dos primeras fórmulas tenemos
$$2\pi r = R \alpha$$
Así obtenemos que el radio basal es
$$r = \frac{R \alpha}{2 \pi}$$

Sustituimos los datos para obtener el radio basal:
$$r = \frac{ 8 }{ 2 \pi } ·\alpha = \frac{8}{2 \pi }· \frac{2\pi }{3} = \frac{8}{3}$$

Para calcular la altura $h $ sólo tenemos que aplicar el teorema de Pitágoras ya que la altura, el radio del sector y el radio basal forman un ángulo recto, siendo el radio del sector la hipotenusa. Por tanto,
$$R^2 = h^2 + r^2$$
$$h = \sqrt{R^2 - r^2 }= \sqrt{64 - 64/9 } = \sqrt{\frac{512}{9}} \simeq 7.54$$