geometría vectorial matriz
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cristianvallejo36
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geometría vectorial matriz
Buenas tardes, tengo este ejercicio sobre matrices y no he podido solucionarlo, muchas gracias por su colaboración.
Sea $D=[d_{i,j}]\in M(\mathbb{R}^n)$ una matriz cuadrada diagonal real de orden $n$ . Demuestre que para todo natural $p$ , $D^p$ es diagonal y las entradas de su diagonal principal son, en su orden, $(d_{1,1})^p$, $(d_{2,2})^p$,...,$(d_{n,n})^p$.
Sea $D=[d_{i,j}]\in M(\mathbb{R}^n)$ una matriz cuadrada diagonal real de orden $n$ . Demuestre que para todo natural $p$ , $D^p$ es diagonal y las entradas de su diagonal principal son, en su orden, $(d_{1,1})^p$, $(d_{2,2})^p$,...,$(d_{n,n})^p$.
Re: geometría vectorial matriz
La demostración puede hacerse por inducción sobre $p$.
Esquema de la demostración:
Explicación: suponemos que se cumple para $p=n$ y demostramos, como consecuencia, que también es cierto para $p = n+1$. Es decir, demostramos que si cumple para el natural $n$, también se cumple para el natural $n+1$. Una vez demostrado esto, como previamente hemos probado que es cierto para $p =1$, también se cumple para $p=2$ y, por tanto, para $p = 3$, $p = 4$ y así, sucesivamente.
Demostración:
Si $p = 1$, el enunciado es cierto puesto que $$A^1 = A = diag((d_{1,1})^1,..., (d_{n,n})^1)$$
Supongamos que se cumple para $p = n$, es decir, se cumple que $$A^p = diag((d_{1,1})^p,..., (d_{n,n})^p)$$
Probamos que se cumple para $p = n+1$. La potencia $A^{p+1} = A^p\cdot A^1$. Por tanto, $$A^{p+1} = diag((d_{1,1})^p,..., (d_{n,n})^p) \cdot diag((d_{1,1})^1,..., (d_{n,n})^1)$$ Teniendo en cuenta la definición del producto de matrices, la entrada $(i,j)$ del producto anterior es
$$ \sum_{k=1}^n a_{i,k}\cdot b_{k,j}$$ siendo $a_{i,k}$ la entrada $(i,k)$ de la matriz de la izquierda y $b_{k,j}$ la entrada $(k,j)$ de la matriz de la derecha.
Como ambas matrices son diagonales, $a_{i,k} = b_{k,j} = 0$ cuando $i\neq k$, $j \neq k$.
Por tanto, si $i\neq j$, el sumatorio anterior es $$ \sum_{k=1}^n a_{i,k}\cdot b_{k,j} = a_{i,i}\cdot 0+0\cdot b_{j,j} =0$$
Pero si $i = j$, $$ \sum_{k=1}^n a_{i,k}\cdot b_{k,j} = \sum_{k=1}^n a_{i,k}\cdot b_{k,i}=$$ $$= a_{i,i}\cdot b_{i,i} = (d_{i,i})^p\cdot (d_{i,i})^1 = (d_{i,i})^{p+1}$$
QED
Enlace: Ejercicios teóricos sobre matrices
Esquema de la demostración:
- Demostramos que se cumple para $p = 1$.
- Suponemos que se cumple para $p = n$.
- Demostramos que se cumple para $p=n+1$.
Explicación: suponemos que se cumple para $p=n$ y demostramos, como consecuencia, que también es cierto para $p = n+1$. Es decir, demostramos que si cumple para el natural $n$, también se cumple para el natural $n+1$. Una vez demostrado esto, como previamente hemos probado que es cierto para $p =1$, también se cumple para $p=2$ y, por tanto, para $p = 3$, $p = 4$ y así, sucesivamente.
Demostración:
Si $p = 1$, el enunciado es cierto puesto que $$A^1 = A = diag((d_{1,1})^1,..., (d_{n,n})^1)$$
Supongamos que se cumple para $p = n$, es decir, se cumple que $$A^p = diag((d_{1,1})^p,..., (d_{n,n})^p)$$
Probamos que se cumple para $p = n+1$. La potencia $A^{p+1} = A^p\cdot A^1$. Por tanto, $$A^{p+1} = diag((d_{1,1})^p,..., (d_{n,n})^p) \cdot diag((d_{1,1})^1,..., (d_{n,n})^1)$$ Teniendo en cuenta la definición del producto de matrices, la entrada $(i,j)$ del producto anterior es
$$ \sum_{k=1}^n a_{i,k}\cdot b_{k,j}$$ siendo $a_{i,k}$ la entrada $(i,k)$ de la matriz de la izquierda y $b_{k,j}$ la entrada $(k,j)$ de la matriz de la derecha.
Como ambas matrices son diagonales, $a_{i,k} = b_{k,j} = 0$ cuando $i\neq k$, $j \neq k$.
Por tanto, si $i\neq j$, el sumatorio anterior es $$ \sum_{k=1}^n a_{i,k}\cdot b_{k,j} = a_{i,i}\cdot 0+0\cdot b_{j,j} =0$$
Pero si $i = j$, $$ \sum_{k=1}^n a_{i,k}\cdot b_{k,j} = \sum_{k=1}^n a_{i,k}\cdot b_{k,i}=$$ $$= a_{i,i}\cdot b_{i,i} = (d_{i,i})^p\cdot (d_{i,i})^1 = (d_{i,i})^{p+1}$$
QED
Enlace: Ejercicios teóricos sobre matrices
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.
Moderador global.
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Re: geometría vectorial matriz
cristianvallejo36 escribió: geometría vectorial matriz
Yo diría álgebra matricial, no?
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