¿Pendiente de f(x) horizontal para todo x?

Oscar
Mensajes: 2
Registrado: 17 Ene 2018, 17:59

¿Pendiente de f(x) horizontal para todo x?

Mensajepor Oscar » 17 Ene 2018, 18:20

Hola!

Intentando representar gráficamente una función me he encontrado con un problemilla. Tengo la siguiente función:
f(x) = 2arctg(x) + arcsen[2x/(1+x^2)]

A la hora de derivarla para estudiar su crecimiento y hallar sus mínimos y máximos, me encuentro con que:
f'(x) = 2/(1+x^2) * [1+(1-x^2)/(x^2-1)] = 2/(1+x^2) * (1-1) = 0

Es decir, me sale que f(x) tiene una pendiente horizontal para todo x. Sin embargo, hay un par de cosas que me hacen pensar que esto es imposible, puesto que:
1) f(x) es simétrica impar y corta en el eje x sólo en x=0
2) Los límites de f(x) cuando x tiende a -infinito y +infinito son -PI y +PI respectivamente
3) Su dominio es todos los números reales

¿Alguien sabe dónde puede estar el error? Lo he revisado varias veces y siempre llego a la misma conclusión...
Gracias de antemano!

Avatar de Usuario
Jollofa
Mensajes: 364
Registrado: 21 Ago 2015, 21:07

Re: ¿Pendiente de f(x) horizontal para todo x?

Mensajepor Jollofa » 17 Ene 2018, 19:40

Hola, Óscar,

en efecto la derivada es 0, pero siempre que $x^2 \geq 1$. En algún momento has simplificado una raíz en la que aparecía el término $(x^2-1)^2$, pero como $x^2-1$ es negativo para $x\in (-1,1)$, debes escribir el valor absoluto al eliminar la raíz. Entonces, en este caso, la derivada no es 0 y, de hecho, nunca se anula (siempre es positiva).

La función es constante en $x\not\in [-1,1]$ y creciente en $x\in [-1,1]$:

f.png
f.png (2.81 KiB) Visto 156 veces


Mínimo en $x=-1$ y máximo en $x=1$.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

Moderador global.

Oscar
Mensajes: 2
Registrado: 17 Ene 2018, 17:59

Re: ¿Pendiente de f(x) horizontal para todo x?

Mensajepor Oscar » 18 Ene 2018, 13:21

Lo he probado y ya veo que tiene sentido, tendré cuidado al eliminar raíces de este tipo

Muchas gracias!


Volver a “Análisis”

¿Quién está conectado?

Usuarios navegando por este Foro: No hay usuarios registrados visitando el Foro y 1 invitado