Derivadas parciales.

Geraldine____
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Derivadas parciales.

Mensajepor Geraldine____ » 11 Ene 2018, 21:37

13. Cierta magnitud es función de la posición en el plano. Se sabe que, respecto de las coordenadas polares r y θ, la función verifica la siguiente ecuación en derivadas parciales:
$sen(θ)\frac{∂F}{∂r}+ \frac{cos(θ)}{r} \frac{∂F}{∂θ}=0 $
Encuentre la ecuación en derivadas parciales que verifica la función respecto de las coordenadas cartesianas x e y.


¿Me ayudan?Al menos, ¿Cómo empiezo?



Geraldine.

Karma
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Re: Derivadas parciales.

Mensajepor Karma » 15 Ene 2018, 17:19

Te informo de que este es un foro destinado para estudiantes de secundaria! Pero somos altruistas. Yo haría lo siguiente:

Como son coordenadas polares, $x = rcos(\theta ), y = rsin(\theta)$
Derivamos: $$ \frac{\partial F}{ \partial r} = \frac{\partial F}{ \partial x}\frac{\partial x}{ \partial r} + \frac{\partial F}{ \partial y}\frac{\partial y}{ \partial r}$$ $$ \frac{\partial F}{ \partial \theta} = \frac{\partial F}{ \partial x}\frac{\partial x}{ \partial \theta} + \frac{\partial F}{ \partial y}\frac{\partial y}{ \partial \theta}$$ Derivamos en el cambio de variable: $$ \frac{\partial x}{ \partial r} = cos(\theta)$$ $$ \frac{\partial y}{ \partial r} = sin(\theta)$$ $$ \frac{\partial x}{ \partial \theta} = -rsin(\theta)$$ $$ \frac{\partial y}{ \partial \theta} = rcos(\theta)$$ Por tanto, $$ \frac{\partial F}{ \partial r} = \frac{\partial F}{ \partial x} cos(\theta) + \frac{\partial F}{ \partial y}sin(\theta)$$ $$ \frac{\partial F}{ \partial \theta} = -rsin(\theta)\frac{\partial F}{ \partial x} + \frac{\partial F}{ \partial y}rcos(\theta)$$ Ahora sustituimos las dos igualdades anteriores en la ecuación en derivadas parciales, operamos, simplificamos, etc. para obtener $$ \frac{\partial F}{ \partial x} \left(sin(\theta)cos(\theta)-sin(\theta)cos(\theta)\right) + \frac{\partial F}{ \partial y}(cos^2(\theta)+sin^2(\theta))=0$$ $$ \frac{\partial F}{ \partial y} = 0$$

Revisa todo, fue arduo escribirlo a pc...
Espero que la ayuda no llegue demasiado tarde.

Un saludo!

Geraldine____
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Re: Derivadas parciales.

Mensajepor Geraldine____ » 15 Ene 2018, 21:51

¡¡¡Muchas gracias!!!
Llega en el momento justo.
:mrgreen:

¡Uh! ¡No sabía! ¿Por qué no aceptan universitarios?


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