"¿Qué es un límite?" definición formal explicada de forma constructiva e intuitiva.

Asero12
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"¿Qué es un límite?" definición formal explicada de forma constructiva e intuitiva.

Mensajepor Asero12 » 14 Jul 2017, 00:04

Buen día.

Hago este post como un aporte a esta comunidad, y a la gente interesada en aprender matemáticas en Español, ya que aunque hay muchas páginas de internet que explican los límites, y dan su definición formal, nunca he visto una en la que expliquen porque ésta es
∀ε>0, ∃δ>0 : 0<|x-c|<δ → |f(x)-L|<ε

Todo esto ha sido escrito por mí, y además lo pueden encontrar, junto a más info. sobre límites en : http://epsilon-delta1.blogspot.com.co/2017/06/que-es-un-limite-parte-2-definicion.html.

"¿Qué es un límite?" definición formal explicada de forma constructiva e intuitiva.
Imagen

Si uno quisiera dar una definición informal de límite :


σ - Téngase una función f(x), si en el rango de dicha función f(x) se acerca a un número L arbitrariamente, a medida que en el dominio x se acerca a un valor c, desde valores mayores y menores a c, entonces el límite de f(x) cuando x se aproxima a c, es L.

A pesar de ser una definición entendible, para ser formal debe definirse ¿Qué es estar cerca de (o acercarse a) L o c?

Aunque en la mayoría de casos se da primero la definición formal, y luego se explica, en este post la construiremos desde cero para que sea más fácil de entender.

Eje x :
Imagen

Ahora, cuando se dice “a medida que en el dominio x se acerca a un valor c, desde valores mayores y menores a c” en la definición informal, para definir qué es estar cerca de c, especificaremos primero dos intervalos de distancia δ | δ∊ℝ. El primero empezará en c sin incluirla y se extenderá hacia los números mayores que c, una distancia de δ, o sea que acabará en c+δ. El segundo empezará en c, sin incluirla, y se extenderá hacia los números menores que c, una distancia de δ, o sea que acabará en c-δ.

Imagen

Los dos intervalos son (c-δ, c) y (c, c+δ). A partir de esto podemos decir que un número x está cerca de c si, o x pertenece a (c-δ, c), o x pertenece a (c, c+δ). Esto se expresa, con una salvedad, con notación de desigualdades, así : Imagen

Pero la definición formal de límite requiere que se exprese en términos de δ, lo cual la hace menos entendible a simple vista, pero más compacta y sencilla a la hora de demostrar, por lo que se hace lo siguiente:

σ - se resta c en ambas desigualdades, lo que hace que se eliminen las que están al lado de las δ, quedando así : Imagen

σ - Quienes recuerden las desigualdades con valores absolutos, recordarán la propiedad: Imagen, Esto significa que, para dejar en términos de δ lo que está dentro del círculo morado, se puede expresar como Imagen.

Lo que queremos expresar , en notación de intervalos es Imagen, pero al decir Imagen, estamos dando la posibilidad de que x sea igual a c, o sea que estaríamos expresando Imagen. Debemos hacer que Imagen exprese que x no puede ser igual a c, así :

σ - x no puede ser igual a c Imagen debe ser expresado en forma de desigualdad. ¿qué queremos decir cuando decimos que x no es igual a c? que x es o mayor que c, o menor, mas no igual. o sea que al decir Imagen también queremos decir Imagen.

σ - Quien recuerde las desigualdades con valor absoluto recordará que Imagen. Acá parece haber un inconveniente: los dos extremos de la desigualdad no son el otro multiplicado por -1, ¿o sí? sucede que 0 no es positivo, ni tampoco es negativo, de hecho Imagen.

Esto hace posible queImagen se pueda expresar como Imagen.


Al ver Imagen y Imagen , se denota que es posible juntarlo todo en una sola desigualdad :

Imagen

[b]Eje y :


Ahora, al ver cómo responde el eje y a lo que sucede en el eje x, nos encontraríamos con esto:
Imagen

Para los valores que existen en los intervalos (c-δ, c) y (c, c+δ), siempre hay un reflejo en el rango, y el intervalo que contiene estos valores también contiene a L, y todos estos valores del reflejo se acercan a L. Para establecer qué es estar cerca de L, también se recurrirá a intervalos.
Imagen

Cuando se dice “en el rango de dicha función, f(x) se acerca a un número L arbitrariamente” en la definición informal, para establecer qué es estar cerca de L se definirá un intervalo parecido a los dos que rodean c, pero en este caso medirá , ε hacia los menores que L, y ε hacia los mayores que L, o sea que el intérvalo empieza en L-ε y acaba en L+ε, esto se puede describir con notación de intervalos (L-ε, L+ε) , y se dirá que un número f(x) es cercano a L si pertenece a este intervalo, o sea si L-ε < f(x) < L+ε. Cabe aclarar que ε debe coincidir o estar dentro de los valores que son reflejo de los que están en (c-δ, c) y (c, c+δ). Al igual que con δ, este intervalo debe estar expresado en términos de ε, para lo que se procede así :

σ - En Imagen se elimina L restándola de ambas desigualdades, Imagen

σ - Se vuelve a aplicar Imagen para reescribir lo que está en el círculo, así Imagen

Con esto, casi hemos terminado de armar la definición formal de límite, la cual es:

Para todo ε>0, Existe δ>0 tal que Imagen

Y se puede ver también como:

Imagen

Imagen

Las partes subrayadas en rojo ya las conocemos, pero ¿por qué se organizan así?

Sucede que un condicional tiene la forma Imagen y se lee “s, entonces n”. A s se le llama condición suficiente, y a n condición necesaria. Esto significa que s no puede ser verdadera, a menos que n lo sea, esto lo refleja el famoso:

Imagen

Lo mismo sucede con un límite; así un número x se acerque a c en el dominio, si no hay un número f(x) acercándose a L en el rango, entonces no existe el límite, esto hace que sea una condición necesaria, por lo que en Imagen, va en n. Para explicar por qué Imagen es suficiente, se deben mostrar casos de límites con algunas posibles combinaciones de valores de verdad de un condicional.

Imagen

σ - Imagen

Imagen

Es verdadero ya que al x acercarse a 2, f(x) se acerca a 4, o sea:
Imagen

σ - Imagen

Imagen

Imagen

Imagen es verdadero , ya que x sí se acerca a 0, pero Imagen es falso debido a que f(x) nunca se acerca a 12, o sea :

Imagen

Lo cual es una falacia ya que:
Imagen

Al ver estos ejemplos nos damos cuenta que el sólo hecho de que x se acerque a c no garantiza que exista un límite, pero siempre que haya un límite, x se va a acercar a c.

Conclusión :

La definición formal de límite es :

Para todo ε>0, Existe δ>0 tal que Imagen

La diferencia con la dada al principio, y lo que la hace formal, es que ésta define, usando intérvalos qué es estar cerca de c y qué es estar cerca de L.

Ésta definición se la debemos a Agustin Louis Cauchy, y se le conoce como definición ε-δ de límite.

Aún así, ésta no es la única definición de límite, y cuando Newton y Leibniz inventaron el cálculo, ellos no conocían esta definición; Ellos usaban algo conocido como infinitesimales o fluxiones, los cuales fueron considerados como poco rigurosos hasta que se descubrió el análisis no-estándar, el cual los formalizó. Se invita al lector a investigar sobre estas definiciones.

Karma
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Re: "¿Qué es un límite?" definición formal explicada de forma constructiva e intuitiva.

Mensajepor Karma » 14 Jul 2017, 19:55

Asero12 escribió:Hago este post como un aporte a esta comunidad y a la gente interesada en aprender matemáticas.


Gracias por la aportación ;)
Un saludo!
Karma (Moderador Global)


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