Condición necesaria para la existencia de Extremos

Enzo
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Condición necesaria para la existencia de Extremos

Mensajepor Enzo » 14 Dic 2016, 20:16

Sea $F$ diferenciable y definida en un conjunto abierto $D\subseteq \mathbb{R}^n$. Demostrar que si $x_0$ pertenece a $D$ y $F(x_0)$ es un extremo local, entonces el gradiente de $F$ en dicho punto es cero.

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Jollofa
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Re: Condición necesaria para la existencia de Extremos

Mensajepor Jollofa » 15 Dic 2016, 00:09

Conceptos previos:

La función es $F:A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, es decir, un campo escalar.

El gradiente de la función $F$ en $x_0$ es el vector
$$ \nabla F (x_0) = \left( D_1 F(x_0), D_2 F(x_0),..., D_n F(x_0)\right) $$
donde $D_k F(x_0)$ son las derivadas parciales definidas como
$$ D_k F(x_0) = \lim_{t \to 0} \frac{F(x_0 + t\cdot e_k) - F(x_0)}{t}$$

Teorema (condición necesaria de extremo relativo):

Sea $F:A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ un campo escalar con un extremo relativo en $x_0 \in A$ tal que el gradiente $\nabla F(x_0)$ está definido. Entonces, $\nabla F(x_0)=0$.

Demostración:

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $F(x_0)$ es un máximo. Entonces, por definición de máximo, existe $\epsilon >0$ tal que la bola abierta $B(x_0;\epsilon)\subseteq A$ y que $\forall x\in B(x_0;\epsilon)$ se tiene $F(x) \leq F(x_0)$.

La función auxiliar $H: ]-\epsilon, \epsilon[ \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $H(t) = F(x_0 +t\cdot e_k)$ está bien definida ya que si $t\in ]-\epsilon, \epsilon[ $ entonces $$\Vert (x_0 +t\cdot e_k) - x_0 \Vert = \Vert t\cdot e_k \Vert = |t| < \epsilon $$ por lo que $x_0 +t\cdot e_k \in B(x_0;\epsilon)\subseteq A$.

La función $H$ tiene un máximo en $t=0$ ya que $$H(t) = F(x_0+t\cdot e_k) \leq F(x_0) = H(0) $$ Por tanto, la derivada de $H$ en $t=0$ se anula: $$0 = H'(0) = \frac{\partial H }{\partial t} (0) = \lim _{t \to 0} \frac{H(0+t)-H(0)}{t} =$$ $$= \lim _{t \to 0} \frac{F(x_0+t\cdot e_k)-F(x_0)}{t} = D_k F(x_0)$$

Por tanto, $ D_k F(x_0) = 0, \forall k, 1\leq k\leq n $, lo que implica $\nabla F(x_0)=0$.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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