Ecuación de la Recta Tangente

FAGAMARRA
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Ecuación de la Recta Tangente

Mensajepor FAGAMARRA » 28 Nov 2016, 03:43

a) Conociendo que la función $f$ cumple $f(2) = 4$ y $f '(2) =1$, indicar la ecuación de la recta tangente al gráfico de $f$ en el punto $x = 2$.

b) Sabiendo que la recta tangente al gráfico de la función $g$ en el punto $x = 0$ tiene por ecuación $y = -2x + 5$ ¿cuánto vale $g'(0)$?

c) Sabiendo que la recta tangente al gráfico de la función $f$ en el punto (2,7) forma con el semieje OX un ángulo de 60º, indicar la ecuación de
dicha recta.

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Jollofa
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Re: Ecuación de la recta tangente

Mensajepor Jollofa » 28 Nov 2016, 11:05

La ecuación de la recta tangente a la curva de la gráfica de $f$ en el punto $(a,f(a))$ es $$ y = f'(a)(x-a)+f(a)$$

Problema 1

Conocemos $f(2) = 4$ y $f '(2) =1$, luego la ecuación de la recta tangente en el punto $x = 2$ es $$ y = 1(x-2)+4 = x-2+4 = x+2$$ $$y = x+2$$
Problema 2

Conocemos la ecuación de la recta: $$ y = -2x + 5$$
que se ha obtenido a partir de $$ y = g'(0)(x-0) +g(0)$$
Igualdando, $$ -2x +5 = g'(0)x + g(0)$$
Por tanto, $g'(0) = -2$ y $g(0)=5$.

Problema 3

Este problema es algo más complicado.
Sabemos que la recta forma un ángulo de 60 grados con el eje de las ordenadas. Entonces, el vector director de la recta tangente y el del eje forman el mismo ángulo. El vector director del eje es $\overline {v} = (1,0)$. Como no conocemos el otro vector, lo llamamos $\overline {w} = (a,b)$

Imagen

Considerando, por ejemplo, $b = 1$ y aplicando la fórmula del producto escalar $$cos(\alpha) = \frac{\overline {w} \cdot \overline {v}}{|v|\cdot |w|}$$ obtenemos que entonces $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Sabiendo que la recta pasa por el punto $(2,7)$ y que un vector director suyo es $(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1)$, obtenemos la ecuación de la recta: $$ x\sqrt{3}-2\sqrt{3} = y-7 $$
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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