1 elevado a infinito

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Jollofa
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Re: 1 elevado a infinito

Mensajepor Jollofa » 16 Sep 2016, 11:08

Si sustituimos $a = \infty $ obtenemos la indeterminación $1^\infty $ $$lim_{a \to \infty} \left(1+\frac{1}{2a} \right)^a = \left(1+\frac{1}{\infty} \right) ^\infty= \left(1+0 \right)^\infty = 1^\infty$$
Para estas indeterminaciones tenemos un fórmula: si tenemos $$lim_{a \to \infty} \left(\frac{f(a)}{g(a)} \right)^{h(a)} = 1^\infty$$
Entonces, $$lim_{a \to \infty} \left(\frac{f(a)}{g(a)} \right)^{h(a)} = lim_{a \to \infty}\ e^{h(a)\left(\frac{f(a)}{g(a)}-1 \right)}$$
La función del primer límite es (operamos un poco para que tenga forma de fracción) $$\left(1+\frac{1}{2a} \right)^a = \left(\frac{2a+1}{2a} \right)^a$$
Por tanto, $$f(a)=2a+1$$$$g(a)=2a$$$$h(a) = a$$
Aplicamos la fórmula:
$$lim_{a \to \infty} \left(\frac{f(a)}{g(a)} \right)^{h(a)} = lim_{a \to \infty}\ e^{a\left(\frac{2a+1}{2a}-1 \right)}=$$$$= lim_{a \to \infty}\ e^{a\left(\frac{2a+1-2a}{2a} \right)} =$$$$=lim_{a \to \infty}\ e^{a\left(\frac{1}{2a} \right)}=$$$$=lim_{a \to \infty}\ e^{\left(\frac{1}{2} \right)}=e^{\left(\frac{1}{2} \right)}= \sqrt{e}$$

Intenta el otro límite, si no, puedes preguntar de nuevo!
Puedes encontrar ejemplos aquí: Cálculo de Límites
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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