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Identidad Trigonométrica (vectores)

Publicado: 13 Ago 2018, 22:45
por Jsebastian009
Buenas, la pregunta que tengo es ¿cuál es la demostración de la identidad conocida como cosenos directores? o de qué otra fórmula partir para llegar allí.

(Cos X)^2 + (Cos B)^2 + (Cosµ)^2 =1

Re: Identidad Trigonométrica (vectores)

Publicado: 20 Ago 2018, 18:51
por Jollofa
Como estás trabajando en $\mathbb{R}^3$, los vectores tienen 3 coordenadas.
Los cosenos directores del vector $(a,b,c)$ son $$ cos(\alpha ) = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ $$ cos(\beta ) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ $$ cos(\gamma ) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ Calculamos sus cuadrados: $$ cos^2(\alpha ) = \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$$ $$ cos^2(\beta ) = \frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}$$ $$ cos^2(\gamma ) = \frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}$$ Su suma es 1: $$ \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2} + \frac{b^2}{a^2+b^2+c^2} + \frac{c^2}{a^2+b^2+c^2} = $$ $$= \frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2} = 1$$