ecuaciones exponenciales

[chucho11028]

Saludos
tengo una duda con un ejercicio de ecuaciones exponenciales y agradeceria cualquier orientacion
la primera solucion debe estar correcta pero es el segundo metodo que aplique que no da la misma solucio y no veo donde estoy aplicando errado el
concepto

PRIMERA FORMA
tengo la ecuacion

12^(x-2) = 4^x una solucion que aplique fue esta

ln12^(x-2) = ln 4^x

(x-2)ln12 = xln4
xln12 - 2ln12 = xln4 arreglo treminos y factorizo para

x(ln12-ln4)=ln2ln12

propiedades de log
xln(12/4)=ln12^2
al final x=ln144/ln3 = 4.5237


SEGUNDA FORMA
misma ecuacion 12^(x-2) = 4^x

12 ^(x-2) = 2^(2x)

12^(x) * 12^(-2) = (2^x)^2

sustituyo y ordeno terminos
U=(2^x)

u^2 - U/144 = 0

completo cuadrados y resto el valor agregado para no modificar

u^2 - U/144 +1/82944 - 1/82944= 0

[(U-(1/288))-1/288][(U-(1/288))+1/288]=0
quedando

u[u-2/288]=0 U=1/144

sustituyo en u
2^x=1/144 uso ln

ln2^x= ln 1/144
xln2=ln1-ln144
x=-ln144/ln2 LO QUE NO ES IGUAL

donde me estoy equivocando?

ayuda pro favor

[Jollofa]

El error está al aplicar el cambio de variable: $$12^x * 12^{-2} = (2^x)^2$$ Al aplicar el cambio $u=2^x$ la ecuación que obtienes es $$u^2\cdot 3^x \cdot 12^{-2} = u^2 $$ Puesto que $$12^x = (2^2\cdot 3)^x = (2^x)^2\cdot 3^x = u^2\cdot 3^x$$ Es mejor aplicar logaritmos. Para el cambio de variable, lo ideal es que las bases de las exponenciales sean la iguales.
No obstante, se puede resolver con el cambio de variable: $$u^2\cdot 3^x \cdot 12^{-2} = u^2 $$ $$u^2\cdot \left(\frac{3^x}{12^2}-1\right) = 0 $$ Una solución sería $u^2 = 0 = 2^x$ (no tiene solución porque una potencia de 2 no puede ser 0). Calculamos la otra: $$ \frac{3^x}{12^2}-1 = 0 $$ $$ \frac{3^x}{12^2}= 1 $$ $$3^x = 12^2 $$ Aplicamos logaritmos: $$ x = \frac{\log (144)}{\log(3)} $$

Enlaces:

• Ecuaciones exponenciales sin aplicar logaritmos
• Ecuaciones exponenciales aplicando logaritmos
• Introducción a las ecuaciones exponenciales

[chucho11028]

muy agradecido por la ayuda