Potencias de Matrices

diego021
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Potencias de Matrices

Mensajepor diego021 » 10 May 2018, 23:59

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¿Se puede resolver a través de la definicion por sumatoria?

Karma
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Re: Potencias de Matrices

Mensajepor Karma » 12 May 2018, 12:27

Es más sencillo.
Calculas $A^2 = A\cdot A$:
$$ A^2 = \left( \begin{matrix}
4 & 4 & 1 \\
-3 & -3 & -1 \\
0 & 1 & -1
\end{matrix}\right)$$ Calculas $A^3 = A\cdot A^2 = I_3$ (es la identidad).
Por tanto,
$A^1 = A$
$A^2 = A^2$
$A^3 = I_3 $
$A^4 = A\cdot I_3 = A$
$A^5 = A\cdot A^4 = A^2$
$A^6 = A\cdot A^5 = A\cdot A^2 = I_3 $
$A^7 = A $
$ A^8 = A^2 $
$ A^9 = I_3 $
Y así sucesivamente. El patrón se repite cada 3:
Por inducción, la potencia $k$ de $A$ es
$$ A^k= \begin{cases}
A & \quad \text{si } k = 3n+1, n\in \mathbb{N}\\
A^2 & \quad \text{si } k = 2+3n, n\in \mathbb{N}\\
I_3 & \quad \text{si } k = 3n, n\in \mathbb{N}
\end{cases}$$
Si $k = 128$, entonces $k = 42\cdot 3 +2$ (segundo caso). Entonces, $A^{128} = A^2$

Más ejemplos: Potencias de matrices
Un saludo!
Karma (Moderador Global)


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