¿Se puede tener una imagen sin base?

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bichomen
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¿Se puede tener una imagen sin base?

Mensajepor bichomen » 08 May 2018, 17:32

Hago esta pregunta, en base al siguiente ejercicio:

Captura de pantalla de 2018-05-08 17-25-41.png
Pregunta 1
Captura de pantalla de 2018-05-08 17-25-41.png (13.41 KiB) Visto 91 veces


A lo que respondo:
Los vectores (1,1,0,0), (1,-1,0,0), (0,0,3,1) y (0,0,2,1) al ser su determinate distinto de 0 son linialmente independientes y pueden formar una base de R4.

Siguiente pregunta:
b) Calcular el subespacio imagen de f

El subespacio imagen de ƒ está generado por las imágenes de la base canónica, es decir, por las columnas de la matriz A . Como la dimensión del núcleo es 4, entonces la dimensión de la imagen tiene que ser 0 (ya que las dimensiones del núcleo e imagen siempre suman la dimensión del espacio de salida, 4 en este caso). Los vectores (1,1,0,0), (1,-1,0,0), (0,0,3,1) y (0,0,2,1) son linealmente independientes (para comprobarlo, basta con ver que el rango de la matriz que forman es 4). Por tanto, dichos vectores forman una base del subespacio Imagen de ƒ.

¿Pertenece a la imagen de ?

(0,0,1,0) = α(2,2,0,0) + β(-2,2,0,0) + γ(0,0,1,1) + x(0,0,1,1) = (2α,-2α) + (-2β,2β) + (y,y) + (x,x) =
( 2α – 2β, -2α+2β,y+x,y+x)

2α – 2β = 0
-2α+2β = 0
y+x = 1
y+x = 0

Es un sistema incompatible, con lo que (0,0,1,0) no pertenece a f.

c) Calcular el subespacio núcleo de f ¿Es inyectiva f?

Captura de pantalla de 2018-05-08 17-28-40.png
resolver
Captura de pantalla de 2018-05-08 17-28-40.png (17 KiB) Visto 91 veces


Si despejamos (x, y, z, t):

x= y
y = -2
z = -2t
t = 1

(x, y, z, t) = (y, -2, -2t, 1)

La base del nucleo es (1, -2, -2, 1) y la dimensión del nucleo es 4, ya que consta de 4 letras.
Para hallar la dimensión de la imagen, sabemos que la dimensión de R4 es igual a la dimensión del nucleo más la dimensión de la imagen, sabemos la dimensión del nucleo y de R4

dimf R4 = dimf nucleo + dimf imagen
4 = 4 + 0

La dimensión del nucleo es 0

¿Entonces no tiene vectores la base?
¿Sigue siendo inyectiva?

Por ultimo me preguntan si es diagonalizable la f

Creo que todo esta bien, ¿o donde esta la trampa o mi error?

Saludos

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