Demostrar que generan el mismo subespacio vectorial

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bichomen
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Demostrar que generan el mismo subespacio vectorial

Mensajepor bichomen » 23 Mar 2018, 12:02

Tengo el siguiente ejercicio:

Problema 1 (2 puntos): Sean los siguientes conjuntos de vectores de R3:
A={(2,2,1), (0,1,1), (-2,0,1)}
B={(2,3,2), (2,1,0)}
C={(2,3,2), (1,0,0)}
a) Encuentra la dimensión de los espacios vectoriales que generan A, B y C y una base de cada uno de ellos.

- El vector A tiene rango = 2 con lo que su dimisión es 3.
- El vector B tiene rango = 2 con lo que su dimisión es 2.
- El vector c tiene rango = 2 con lo que su dimisión es 2.

El rango es igual al numero de vectores linealmente independientes (LI).

- Los vectores (2,2,1),(0,1,1) son linealmente independientes con lo que forman una base de A.
- Los vectores (2,2,2),(2,1,0) son linealmente independientes con lo que forman una base de B.
- Los vectores (2,3,2),(1,0,0) son linealmente independientes con lo que forman una base de C.

b) Demuestra que A y B generan el mismo subespacio vectorial de R3.
c) Demuestra que C no genera el subespacio generado por B.


No se como hacer los puntos b) y C)
¿Como se demuestra A y B generan el mismo subespacio y C no?

Gracias

Karma
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Re: Demostrar que generan el mismo subespacio vectorial

Mensajepor Karma » 25 Mar 2018, 10:16

Si los vectores de la base B son combinación lineal de los de la base A (esto ocurre en tu problema), el subespacio que genera B está dentro de A. Si además tienen la misma dimensión (también ocurre en tu problema), los subespacios son iguales.

Si B y C no generan el mismo subespacio, hay vectores que no son comunes a los subespacios. Al añadir alguno de los vectores de la base C a la base B se tiene que tener un sistema independiente.

Por cierto, "El vector A tiene rango = 2 con lo que su dimisión es 3." A es una base, no un vector y como el rango del sistema es 2, la dimensión es 2.
Un saludo!
Karma (Moderador Global)

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bichomen
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Re: Demostrar que generan el mismo subespacio vectorial

Mensajepor bichomen » 26 Mar 2018, 10:45

ok muchas gracias.


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