Problema con subespacio vectorial

Avatar de Usuario
bichomen
Bronce
Mensajes: 26
Registrado: 13 Dic 2017, 11:12
Ubicación: Barcelona

Problema con subespacio vectorial

Mensajepor bichomen » 21 Mar 2018, 11:58

Hola, os pongo el siguiente ejercicio abajo para que me ayudéis con el apartado b) que me pierdo un poco y me digáis si el apartado a) esta bien resuelto. Gracias.

Sea E={(x, y, z, t) | x=0, x+y=t} un subespacio vectorial de dimensión 2 en R4 y sea el vector v=(0, -1, 3, 2).
a) Comprobad que A={(0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)} es una base de E. ¿Pertenece v a E? En cas afirmativo calculad sus coordenadas en la base A.
A es una base de E:

Captura de pantalla de 2018-03-21 11-52-44.png
A base de E
Captura de pantalla de 2018-03-21 11-52-44.png (9.51 KiB) Visto 278 veces


Es un Sistema Compatible Determinado (SCD).

Captura de pantalla de 2018-03-21 11-53-54.png
v pertenece a E
Captura de pantalla de 2018-03-21 11-53-54.png (11.09 KiB) Visto 278 veces


Como se puede comprobar v pertenece al subespacio vectorial E.
Las coordenadas de A son:
Captura de pantalla de 2018-03-21 11-55-11.png
coordenadas
Captura de pantalla de 2018-03-21 11-55-11.png (1.66 KiB) Visto 278 veces


b) Encontrad una base de E que contenga el vector v, y calculad la matriz de cambio de base de la base que habéis encontrado a la base A.

Avatar de Usuario
Jollofa
Oro
Mensajes: 385
Registrado: 21 Ago 2015, 21:07

Re: Problema con subespacio vectorial

Mensajepor Jollofa » 22 Mar 2018, 09:41

Primero: Si A es una base de E, entonces has escrito mal E, la segunda ecuación debería ser $t = z+y$.

Segundo: sólo has comprobado que la base A está formada por vectores linealmente independientes. Falta comprobar que es generadora de E.

Comprobamos: los vectores de E son de la forma $(0,y,z,z+y)$. Se pueden escribir como combinación de la base: $$(0,y,z,z+y) = y\cdot (0,1,0,1) + z\cdot (0,0,1,1) $$

A partir de ahora, los vectores de la base son $e_1= (0,1,0,1)$ y $e_2=(0,0,1,1)$

Tercero: el vector v es de E porque $v = -e_1 + 3e_2$. O bien, porque cumple las ecuaciones $x=0, t=z+y$.

Cuarto: la base puede ser, por ejemplo, cambiar el vector $e_1$ por el vector $v$. La base sería $\mathcal{E} = \{e_2, v\}$.

Los vectores de la base $\mathcal{E}$ son independientes. Como hay 2 vectores, la dimensión del subespacio es 2.
¿Genera a E?
Los vectores de E son de la forma $w=(0,y,z,z+y)$. Se pueden escribir como $$ (3y+z)\cdot e_2 - y\cdot v = $$ $$ = (0,0,3y+z,3y+z) +(0,y,-3y,-2y)= $$ $$= (0,y, 3y+z-3y, 3y+z-2y ) =$$ $$ = (0, y, z, y+z) = w $$

La matriz te la dejo a ti
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

Moderador global.

Avatar de Usuario
bichomen
Bronce
Mensajes: 26
Registrado: 13 Dic 2017, 11:12
Ubicación: Barcelona

Re: Problema con subespacio vectorial

Mensajepor bichomen » 22 Mar 2018, 10:43

Entiendo que el vector resultante es:
Captura de pantalla de 2018-03-22 10-41-03.png
Comprobación de E2
Captura de pantalla de 2018-03-22 10-41-03.png (12.34 KiB) Visto 272 veces


¿Ahora con este vector y el vector v tengo que calcular la matriz de cambio de base?

Avatar de Usuario
bichomen
Bronce
Mensajes: 26
Registrado: 13 Dic 2017, 11:12
Ubicación: Barcelona

Re: Problema con subespacio vectorial

Mensajepor bichomen » 23 Mar 2018, 11:09

La matriz de cambio de base es:

Captura de pantalla de 2018-03-23 11-06-36.png
Matriz cambio de base
Captura de pantalla de 2018-03-23 11-06-36.png (2.37 KiB) Visto 269 veces


Volver a “Álgebra”

¿Quién está conectado?

Usuarios navegando por este Foro: Bing [Bot] y 1 invitado