Hallar un numero complejo, sabiendo una de sus raices

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bichomen
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Hallar un numero complejo, sabiendo una de sus raices

Mensajepor bichomen » 03 Mar 2018, 12:53

Enunciado:

Hallad un número complejo, z, sabiendo que una de sus raíces quintas es 2-2i .Proporcionad el resultado en forma binómica y polar.
Pista: Si 2-2i es una raíz quinta de z, entonces: z=(2-2i)⁵

¿Como puedo hallar el numero complejo? ¿multiplicando 2-2i por si mismo 5 veces?

Saludos

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Jollofa
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Re: Hallar un numero complejo, sabiendo una de sus raices

Mensajepor Jollofa » 03 Mar 2018, 18:37

Sí, $(2-2i)^5 = -128+128i$
Otra forma:
Las raíces n-esimas de $z$ son

Imagen

Como $|z|^{1/n}$ es el mismo para todos y $n=5$, conoces alguna de las 5 raíces al dar valores a $k$ (supongamos, por ejemplo, la de $k=0$).

El módulo de la raíz que tienes es $2\sqrt{2}$ así que $|z|^{1/5} = 2\sqrt{2}$. Por tanto, $|z|=(2\sqrt{2})^5$. El ángulo de la raíz es $7\pi /4$ y como suponemos que $k=0$, entonces $$ \frac{\theta + 0}{5} = \frac{7\pi }{4} \rightarrow \theta = \frac{35\pi }{4}$$ Como tienes el módulo y el ángulo de $z$, tienes $z$: $$ z = (2\sqrt{2})^5·exp\{\frac{35\pi }{4}i\} = -128+128i$$ Enlace: Raíces de complejos
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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bichomen
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Re: Hallar un numero complejo, sabiendo una de sus raices

Mensajepor bichomen » 04 Mar 2018, 12:37

Disculpa mi ignorancia, pero (2−2i)⁵=−128+128i no sería:
x⁵ = 2−2i)⁵
|z| = sqrt(2²+2²) = sqrt(4+4) = sqrt(8)
M = 2/2 = 1 --> 45º

x⁵ = sqrt(8)·(cos(45)+sen(45))⁵

Forma binómica= x = 181.0193(cos(225)+sen(225))
Forma polar= sqrt(8) 225º

No se porque da −128+128i
Si lo calculo con el software R (x <- (2-2i)^5) si que me da −128+128i

No se como poner raíces, por eso uso la nomenclatura sqrt().

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Re: Hallar un numero complejo, sabiendo una de sus raices

Mensajepor Karma » 04 Mar 2018, 18:44

Olvidaste el signo negativo al calcular el ángulo:
$$z = a+b\cdot i $$ $$ \alpha = atan\left( \frac{b}{a} \right)$$ Si $z = 2-2i$, $a = 2, b = -2$, el ángulo es $$\alpha = atan\left( -1 \right) = -45^\circ = 315^\circ$$
Un saludo!
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Re: Hallar un numero complejo, sabiendo una de sus raices

Mensajepor bichomen » 05 Mar 2018, 11:58

Tienes razón, pero igualmente ¿como llego a −128+128i?

Saludos

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Re: Hallar un numero complejo, sabiendo una de sus raices

Mensajepor Karma » 05 Mar 2018, 13:10

Igual que lo hisciste pero escribiendo bien el ángulo
$$ \sqrt{8}^5·(cos(315)+isen(315))^5 = $$ $$ = \sqrt{8}^5·(cos(1575)+isen(1575)) = $$ $$ \approx 181.019\cdot (-0.707+0.707i) =$$ $$= -127.98 + 127.98i$$
Un saludo!
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Re: Hallar un numero complejo, sabiendo una de sus raices

Mensajepor bichomen » 06 Mar 2018, 11:16

Hola, gracias, ya me he aclarado un poco más tenía un lio con algunos conceptos, solo tengo una duda más:

Se que:

tan(-1) = 315º

315º = 7/4·PI

Pero no entiendo muy bien como se llega de 7/4·PI a 35/4·PI cuando k=0. Usando la calculadora wiris (calcme.com/a) me da:

Captura de pantalla de 2018-03-06 11-12-18.png
K=0
Captura de pantalla de 2018-03-06 11-12-18.png (2.96 KiB) Visto 415 veces


Que es lo que me da a mi aplicando la formula igualmente, con radianes:

Captura de pantalla de 2018-03-06 11-14-49.png
rad
Captura de pantalla de 2018-03-06 11-14-49.png (3.26 KiB) Visto 415 veces


Lo único que veo es que multiplica el 7 por el 5 y de obtienes 35, a ver si me podéis aclarar esto, gracias.

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Re: Hallar un numero complejo, sabiendo una de sus raices

Mensajepor Jollofa » 06 Mar 2018, 13:26

Estás confundiendo los ángulos: $\theta$ es el argumento de $z$ y $\alpha = 315^\circ$ es el argumento de una de sus raíces $\sqrt[5]{z}$.
Por eso $$ \alpha \cdot 5 = \theta $$ $$ 5\cdot 315^\circ = \theta $$ O bien, $$\frac{\theta}{5} = \alpha = \frac{7\pi}{4} $$ $$\theta = \frac{35\pi}{4}$$ $\theta$ es el argumento $-128+128i$ de y $\alpha$ el de $2-2i$.

La fórmula que usas es para calcular el ángulo de la raíz de $z$, así que tienes que escribir el ángulo de $z$, no de la raíz, que es la que estás calculando con la fórmula!
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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Re: Hallar un numero complejo, sabiendo una de sus raices

Mensajepor bichomen » 06 Mar 2018, 14:42

Uuff, ¿Porque son tan enrevesadas las matemáticas?

Captura de pantalla de 2018-03-06 14-27-58.png
operaciones
Captura de pantalla de 2018-03-06 14-27-58.png (13.38 KiB) Visto 412 veces


Supongo que hace falta en medio 181.0193(−0.707+0.707i) para llegar a -128+128i, antes de (2·sqrt(2))⁵ * (35·PI / 4)i

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Re: Hallar un numero complejo, sabiendo una de sus raices

Mensajepor Jollofa » 06 Mar 2018, 17:07

Lo que no entiendes es la siguiente igualdad? $$ \sqrt{8}^5·(cos(315)+isen(315))^5 =-128 + 128i$$

Puedes escribir el complejo en forma polar: $$z = \sqrt{8}_{315^\circ}$$ Elevamos a la 5 (el módulo se eleva a 5 y el ángulo se multiplica por 5): $$z^5 =(\sqrt{8}_{315^\circ})^5=$$ $$ = (\sqrt{8})^5_{5\cdot 315^\circ} =$$ $$ \approx 181.01_{1575^\circ} =$$ $$= 181.01_{135^\circ} =$$ $$= 181.01\cdot (cos(135)+isen(135)) \approx $$ $$ \approx -128+128i $$
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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