Demostración de matrices

Dark66
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Demostración de matrices

Mensajepor Dark66 » 28 Feb 2018, 01:06

Si sabemos que A es involutiva, como puedo demostrar que (1/2)(I + A) es idempotente?

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Jollofa
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Re: Demostración de matrices

Mensajepor Jollofa » 28 Feb 2018, 12:25

Si $A$ es una matriz cuadrada de dimensión $n$, es involutiva si es igual a su inversa, es decir, si $A = A^{-1}$. Por tanto, $A\cdot A = A\cdot A^{-1} = I$ donde $I$ es la matriz identidad de dimensión $n$.

La matriz $B$ es idempotente si $B^2 = B$.

Queremos demostrar que si $B=1/2(I+A)$, entonces $B^2 = B$.

Calculamos $B^2$: $$ B^2 = (1/2(I+A))\cdot(1/2(I+A)) =$$ $$= 1/4\cdot (I+A)\cdot (I+A) = $$ $$ = 1/4(I^2+I\cdot A + A\cdot I + A^2) $$
Como $I$ y $A$ son cuadradas e $I$ es la identidad, $I\cdot A + A\cdot I = 2A$. Continuamos en el cálculo de $B^2$: $$ B^2 = 1/4(I^2+2A+A^2)$$
Como $I^2 = I$ y $A^2 = I$, $$ B^2 = 1/4(I+2A+I) = $$ $$= 1/4(2I+2A) = 2/4(I+A) =$$ $$ = 1/2 (I+A) = B $$
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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