[Ayuda] Ejercicio de espacio vectorial

Claudio1995
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[Ayuda] Ejercicio de espacio vectorial

Mensajepor Claudio1995 » 28 Feb 2018, 00:03

Buenas noches, queria ver si me podrían indicar o ayudar a hacer el siguiente problema de algebra:
"Determinar, si existen, todos los valores reales de A y B para los cuales el subespacio de $R^{2 } $ generado por el conjunto G= {(1,A,B),(1,1,B),(1,A,1)} tiene la misma dimension que la del sub espacio S={(x,y,z) / x=2y-z ∧ y= $\frac{x+z}{2} $ }

Gracias,Claudio.

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Jollofa
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Re: [Ayuda] Ejercicio de espacio vectorial

Mensajepor Jollofa » 28 Feb 2018, 12:58

Pensándolo por encima... La dimensión de $S$ es 2. El rango del sistema de los vectores de $G$ debe ser 2. Fíjate que el rango de $G$ es el mismo que rango del sistema de vectores $Z=\{(1,1,1), (0,1-a,0), (0,0,1-b)\}$ (obtenido sumando y restando los vectores de $G$ si no hubo errores de cálculo mental). Sólo hay que ver cuándo el rango de $Z$ es igual a 2.

Si $a = 1 = b$, el rango es 1.
Si $a, b\neq 1$, el rango es 3.
Si $a=1, b\neq 1$, el rango es 2. Si $a\neq 1,b = 1$, el rango es 2.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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Claudio1995
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Re: [Ayuda] Ejercicio de espacio vectorial

Mensajepor Claudio1995 » 28 Feb 2018, 15:01

Hola Jollofa gracias por responder, no tiendo por que planteas el conjunto de vectores Z. El rango de la matriz S ¿es 2 por tener 2 ecuaciones con 3 incognitas? Es correcto mi siguiente razonamiento?
Como el conjunto G genera el subespacio vectorial de $R^{ 2} $ entonces el conjunto G debera ser linealmente independiente, puedo plantear la siguiente combinación lineal:
$\alpha $(1,A,B)+$\epsilon $(1,1,B)+$\chi $(1,A,1) =0
lo cual me genera el siguiente sistema de ecuaciones lineales
$\alpha $ + $\epsilon $+$\chi $ =0
A$\alpha $+$\epsilon $+A$\chi $ =0
B$\alpha $+B$\epsilon $+$\chi $=0

Armamos la matriz de los coeficientes
\begin{array}[Posición]{FormatoColumnas}
1& 1 & 1 \\
A & 1& A \\
B & B& 1 \\
\end{array}
Triangulo la matriz
F$_{ 2} $-->F$_{ 2} $-F$_{1 } $
F$_{ 3} $-->F$_{ 3} $-F$_{ 1} $
\begin{array}[Posición]{FormatoColumnas}
1& 1 & 1 \\
A-1 & 0& A-1 \\
B-1 & B-1& 0 \\
\end{array}

Puedo concluir que para que el subespacio tenga dimensión 2, la matriz de los coeficientes tendra que ser de rg =1. Por lo tanto, los valores que permitan hacer esto son : A=1 y B=1

¿Es correcto?
Gracias....

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Jollofa
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Re: [Ayuda] Ejercicio de espacio vectorial

Mensajepor Jollofa » 28 Feb 2018, 17:19

Bueno... ¡Es que estamos trabajando en $\mathbb{R}^3$ en lugar de $\mathbb{R}^2$!
Si los vectores del sistema $G$ son vectores de dimensión 3, genera un subespacio de $\mathbb{R}^3$. Fíjate que $S$ también se define como los vectores $(x,y,z)$ de $\mathbb{R}^3$

Vamos por partes. La matriz coeficientes del subespacio $S$ es
$$ \left( \begin{matrix}
1 & -2 & 1 & 0\\
1/2 & -1 & 1/2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right) \sim
\left( \begin{matrix}
1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right) $$
La matriz tiene rango 1 y el subespacio está generado por dos vectores $(2,1,0), (-1,0,1)$ (el subespacio tiene dimensión 2).

La matriz $A$ de coeficientes que escribiste es en realidad la matriz formada por los vectores que generan $G$. La dimensión del subespacio se puede calcular a partir de la fórmula (y aquí es donde me equivoqué en mi primer mensaje :| ) $$ dim G = dim\mathbb{R}^3 - rg(A) $$ $$ dim G = 3 - rg(A) $$ Para que la dimensión de $G$ sea 2, $rg(A) = 1$. Esto ocurre cuando $A=1=B$
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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Claudio1995
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Re: [Ayuda] Ejercicio de espacio vectorial

Mensajepor Claudio1995 » 28 Feb 2018, 17:44

Gracias! no me quedaba muy claro por que el subespacio S tenía rango 2, igualmente puedo pensar que el subespacio S ¿surge de la interseccion de 2 subespacios?

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Jollofa
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Re: [Ayuda] Ejercicio de espacio vectorial

Mensajepor Jollofa » 28 Feb 2018, 18:35

$$ \left( \begin{matrix}
1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right)$$

Por tanto, $x = 2y - z$.
Si $y = \alpha$ y $z = \beta$, $(x,y,z)=(2\alpha -\beta , \alpha, \beta )$
$$ \left( \begin{matrix}
x \\
y \\
z
\end{matrix}\right) =
\alpha \left( \begin{matrix}
2 \\
1 \\
0
\end{matrix}\right)
+\beta \left( \begin{matrix}
-1 \\
0 \\
1
\end{matrix}\right)
$$ El subespacio está generado por dos vectores: $(2,1,0)$ y $(-1,0,1)$. El número de vectores de una sistema generador linealmente independiente es la dimensión del subespacio.
O aplicando la fórmula que te dije, dimensión = 3 - rango(A) = 3-1 = 2

Claudio1995
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Re: [Ayuda] Ejercicio de espacio vectorial

Mensajepor Claudio1995 » 01 Mar 2018, 18:59

Gracias!! :D


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