Promblema con diagonalización de matriz 8x8

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bichomen
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Promblema con diagonalización de matriz 8x8

Mensajepor bichomen » 28 Dic 2017, 15:09

Me estoy volviendo loco, me dan una matriz 8x8 en la que me piden que halle los valores y vectores propios:
Captura de pantalla de 2017-12-28 14-59-22.png
Matriz 8x8
Captura de pantalla de 2017-12-28 14-59-22.png (9.21 KiB) Visto 227 veces


Su polinomio característico es:
Captura de pantalla de 2017-12-28 12-26-43.png
Polinomio característico
Captura de pantalla de 2017-12-28 12-26-43.png (3.61 KiB) Visto 220 veces
Última edición por bichomen el 29 Dic 2017, 18:02, editado 3 veces en total.

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bichomen
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Re: Promblema con diagonalización de matriz 8x8

Mensajepor bichomen » 28 Dic 2017, 15:12

Pero si intento hacer:
Captura de pantalla de 2017-12-28 15-07-37.png
incognitas
Captura de pantalla de 2017-12-28 15-07-37.png (35.88 KiB) Visto 226 veces

Captura de pantalla de 2017-12-28 15-11-12.png
ceros
Captura de pantalla de 2017-12-28 15-11-12.png (35.04 KiB) Visto 226 veces


No se como resolverlo. ¿Me podéis ayudar?

Gracias

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Re: Promblema con diagonalización de matriz 8x8

Mensajepor Jollofa » 28 Dic 2017, 16:34

¿Cómo has calculado el polinomio característico? ¿A mano?

A mí el pc me dice que es $$ \lambda^8 -12\lambda^7 + 15\lambda^6 +160\lambda^5 - 516\lambda^4 + 432\lambda^3$$

Siendo la matriz

A=[0,7,-22,6,0,9,-20,29;
4,9,-28,6,0,9,-26,35;
4,7,-26,6,0,9,-26,35;
4,7,-29,9,0,9,-27,36;
4,-2,1,-3,0,0,3,-3;
0,7,-22,6,0,9,-20,29;
4,7,-26,6,0,9,-24,33;
4,7,-26,6,0,9,-26,35]

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Re: Promblema con diagonalización de matriz 8x8

Mensajepor bichomen » 28 Dic 2017, 17:00

Con un software matemático llamado wiris:
$$|f - lambda| = 0$$

Tienes razón me equivoque con otro ejercicio:
Captura de pantalla de 2017-12-28 12-26-43.png
Polinomio caracteristico
Captura de pantalla de 2017-12-28 12-26-43.png (3.61 KiB) Visto 222 veces

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Re: Promblema con diagonalización de matriz 8x8

Mensajepor Jollofa » 28 Dic 2017, 17:05

Entonces problema solucionado :lol:

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Re: Promblema con diagonalización de matriz 8x8

Mensajepor bichomen » 28 Dic 2017, 17:23

No esta resuelto, faltan los autovalores, que es lo que no consigo resolver.

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Re: Promblema con diagonalización de matriz 8x8

Mensajepor Jollofa » 28 Dic 2017, 17:36

Ese ya es otro tema... :D

Factor común: $$ x^3\cdot (x^5 -12x^4 + 15x^3 + 160x^2 - 516x +432)$$

Tres raíces iguales: $x_1 = x_2 = x_3 = 0$
Para las otras, hay que resolver la ecuación de quinto grado $$ x^5 -12x^4 + 15x^3 + 160x^2 - 516x +432 = 0$$
Hay que probar por Ruffini, es suficiente con encontrar dos raíces. Por suerte, el número $432 = 2^4\cdot 3^3$ tiene muchos divisores... 2, 3, 9 y -4 deben funcionar (porque son las raíces ;) ).

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Re: Promblema con diagonalización de matriz 8x8

Mensajepor bichomen » 28 Dic 2017, 21:47

Wiris me hace ruffini y todo de golpe, pero lo he comprobado a mano y esta bien, al menos coinciden los resultados jajaaj

Captura de pantalla de 2017-12-28 21-42-35.png
Valores
Captura de pantalla de 2017-12-28 21-42-35.png (4.79 KiB) Visto 217 veces


Ahora tengo 5 valores
-9
-3
-2 (dos veces)
4

Ahora tengo que hallar la diagonalización de la matriz con estos valores.

Muchas gracias por tu ayuda.

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Re: Promblema con diagonalización de matriz 8x8

Mensajepor bichomen » 29 Dic 2017, 18:11

Pues no consigo hallar los autovectores o vectores propios con λ = 2 pero creo que los resto de valores igual, me explico.

La matriz con λ = 2 es:
Captura de pantalla de 2017-12-29 18-05-36.png
Matriz f
Captura de pantalla de 2017-12-29 18-05-36.png (16.5 KiB) Visto 213 veces


Por Gauss-Jordan me da el siguiente sistema de ecuaciones:
Captura de pantalla de 2017-12-29 18-10-22.png
Sistema de ecuaciones
Captura de pantalla de 2017-12-29 18-10-22.png (27.26 KiB) Visto 213 veces


Pues no se como despejar las incógnitas, ya se que soy muy torpe...

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Re: Promblema con diagonalización de matriz 8x8

Mensajepor Jollofa » 30 Dic 2017, 09:25

Tienes que resolver el sistema $A\cdot v = \lambda \cdot v$ (conoces $A$ y $\lambda$, el vector $v$ es la incógnita). Puedes aplicar Gauss a la matriz $$[A\cdot v | \lambda \cdot v]$$ Seguramente para $\lambda = 0, 2$ tienes varios vectores.


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