Calcular el subespacio imagen de f

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bichomen
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Calcular el subespacio imagen de f

Mensajepor bichomen » 13 Dic 2017, 11:26

Hola a todos,

Tengo un ejercicio en el que se me pide hallar el subespacio imagen de f (R3 ---> R2), pero no me dan las ecuaciones de la aplicación lineal si no los vectores de las bases:

$$f(1,2,1) = (1,-1), f(0,1,1) = (-1,1), f(1,0,0) = (2,-2)$$

Luego me preguntan si (1,2) pertenece a la imagen de f.

¿Como puedo hallar las ecuaciones para encontrar la imagen con los vectores? Mirando por Internet, todos los ejemplos son del estilo:

$$f : R3 → R2, f(x, y, z) = (z, y + x)$$

¿Se resuelve con transformaciones lineales?

Gracias por vuestra ayuda.

algoritmo
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Re: Calcular el subespacio imagen de f

Mensajepor algoritmo » 13 Dic 2017, 17:31

A mi se me ocurriría comprobar si el vector (1,2) es combinación lineal de: (1, -1), (-1, 1) y (2, -2)

Saludos: :)

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bichomen
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Re: Calcular el subespacio imagen de f

Mensajepor bichomen » 20 Dic 2017, 19:48

No lo es.

Karma
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Re: Calcular el subespacio imagen de f

Mensajepor Karma » 21 Dic 2017, 07:41

Entonces, solucionado:

Todo vector $v$ de $\mathbb{R}^3$ es combinación lineal de los vectores de la base $B=\{v_1, v_2, v_3\}$ : $$ v = \sum{\alpha_i v_i}$$ Por tanto, $$ f(v) = f\left( \sum{\alpha_i v_i}\right)=$$ $$= \sum{\alpha_i f(v_i)}$$ El conjunto $\{ f(v_i)\}$ es un sistema generador del espacio $f(\mathbb{R}^3)$. Por ser sistema generador, si (1,2) es un vector de $f(\mathbb{R}^3)$, debería escribirse como combinación lineal del sistema, lo cual no es posible. Así que (1,2) no es un vector de la imagen.

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bichomen
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Re: Calcular el subespacio imagen de f

Mensajepor bichomen » 21 Dic 2017, 11:34

Ok, gracias :-D


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