Encontrar ecuación

Jym
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Encontrar ecuación

Mensajepor Jym » 10 Sep 2017, 09:13

a) Comprobar que $\sqrt{8+2\sqrt{15}} =
\sqrt{3}+\sqrt{5} $

b) Encontrar una ecuación con coeficientes enteros de modo que una de sus soluciones sea $x = \sqrt{3} + \sqrt{5} $

Necesito ayuda :cry:

Karma
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Re: Encontrar ecuación

Mensajepor Karma » 11 Sep 2017, 13:01

Elevando al cuadrado: $$ \sqrt{8+2\sqrt{15}} = \sqrt{3} + \sqrt{5} $$ $$ \sqrt{8+2\sqrt{15}} ^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 $$ $$ 8+2\sqrt{15} = 3+5+2\sqrt{15} $$ $$ 8+2\sqrt{15} = 8+2\sqrt{15} $$
Un saludo!
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Jollofa
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Re: Encontrar ecuación

Mensajepor Jollofa » 12 Sep 2017, 11:52

Apartado b)

La ecuación $x - \sqrt{3} - \sqrt{5} = 0$ tiene la única raíz $x = \sqrt{3} + \sqrt{5}$, pero los coeficientes no son enteros (el término independiente no es un entero). Lo que haremos es trabajar con la igualdad $x = \sqrt{3} + \sqrt{5}$.
Elevamos al cuadrado dos veces para eliminar las raíces: $$ x^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2$$ $$ x^2 = 3 + 5 + 2\sqrt{15}$$ $$ x^2 -8 =2 \sqrt{15}$$ Elevamos al cuadrado de nuevo: $$ (x^2-8)^2 = (2\sqrt{15})^2 $$ $$x^4 + 64 -16x^2 = 4\cdot 15$$ $$ x^4 -16x^2 + 4 = 0$$ Los coeficientes de la ecuación son enteros: 1, 0, -16, 0 y 4.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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