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triangulo rectángulo

Publicado: 21 Ago 2017, 15:56
por jos3
Hola, buenos dias. tengo problemas con entender este ejercicio:

Sea ABC un triangulo rectangulo en B tal que AB = 2BC. Calcular el seno, coseno y tangente del
angulo \BAC.

gracias y saludos

Re: triangulo rectángulo

Publicado: 21 Ago 2017, 17:32
por Jollofa
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Por el teorema de Pitágoras, $h^2 = a^2 + b^2$. y como $a = 2b$, $$ h^2 = (2b)^2 +b^2 = 5b^2 $$ $$h = b\sqrt{5} $$ Por el teorema del seno, $$ \frac{h}{sin(90^\circ ) } = \frac{a}{sin(\alpha )} = \frac{b}{sin(\beta )}$$ $$ \frac{h}{1 } = \frac{a}{sin(\alpha )} = \frac{b}{sin(\beta )}$$ $$ 5\sqrt{b} = \frac{a}{sin(\alpha )} = \frac{b}{sin(\beta )}$$ De donde $$ 5\sqrt{b} = \frac{b}{sin( \beta )}$$ $$ sin( \beta ) = \frac{b}{5\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$ $$\beta = asin\left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = 26.57^\circ $$ Como la suma de los ángulos debe ser 180º y conocemos dos, podemos calcular el otro: $$ \beta + \alpha + 90^\circ = 180^\circ $$ $$ \alpha = 180^\circ - 90^\circ -26.57^\circ = 63.43^\circ $$ Sabiendo los ángulos ya puedes calcular las razones trigonométricas.

No obstante, también podrías calcularlas por sus definiciones. Por ejemplo, $$ sin(\alpha ) = \frac{catateo\ opuesto\ a\ \alpha}{hipotenusa} $$

Enlace: Problemas básicos de trigonometría Echa un vistazo porque quizás puedan ayudarte !!

Re: triangulo rectángulo

Publicado: 22 Ago 2017, 13:51
por jos3
Gracias de nuevo, me cuesta entender esa lógica pero es cuestión de practica. No entiendo de donde salio el 1 debajo de la h

$\frac{h}{1 } = \frac{a}{sin(\alpha )} = \frac{b}{sin(\beta )} $

Re: triangulo rectángulo

Publicado: 22 Ago 2017, 13:57
por Jollofa
Teorema del seno: $$ \frac{a}{sin(\alpha )} = \frac{b}{sin(\beta )} = \frac{c}{\sin(\gamma )} $$ donde $a,b,c$ son los lados del triángulo y $\alpha ,\beta ,\gamma$ son sus ángulos opuestos respectivamente. Como los triángulos de tus problemas son rectángulos, uno de los ángulos es de 90º y por tanto su seno es $sin(90^\circ ) = 1$. Escribí directamente 1 por simplificar (el lado era $h$, la hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto).