¿Trigonometria: calcular angulos de un triangulo rectangulo?

jos3
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¿Trigonometria: calcular angulos de un triangulo rectangulo?

Mensajepor jos3 » 20 Ago 2017, 15:53

Hola gente, hace poco empece la universidad y hay temas que me cuestan un poco de entender. el siguiente problema como se hace?

Para un triangulo ABC rectangulo en B con las caracteristicas indicadas en cada caso, calcular la medida
de los lados y angulos restantes:

(a) AB = 2cm, BC = 4cm.


saludos y muchas gracias

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Jollofa
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Re: ¿Trigonometria: calcular angulos de un triangulo rectangulo?

Mensajepor Jollofa » 20 Ago 2017, 18:14

Hola, jos3, bienvenido al foro.

Empezamos representando el triángulo. El ángulo recto está en el vértice $B$:

TRec.png
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Como el triángulo es rectángulo y conocemos la longitud de los dos catetos, podemos calcular la longitud de la hipotenusa $h$ aplicando el teorema de Pitágoras: $$ h^2 = 2^2+4^2$$ $$h^2 = 4+16$$ $$h^2 = 20 $$ $$ h=\sqrt{20} = 2\sqrt{5} \simeq 4.47 cm$$

El teorema del seno relaciona los lados con sus ángulos opuestos: $$ \frac{a}{sin(\alpha )} = \frac{b}{sin(\beta )} =\frac{h}{sin( 90^\circ )}$$ Sustituyendo: $$ \frac{4}{sin(\alpha )} = \frac{2}{sin(\beta )} =\frac{2\sqrt{5}}{sin( 90^\circ )}$$ $$ \frac{4}{sin(\alpha )} = \frac{2}{sin(\beta )} =2\sqrt{5}$$ Por tanto, $$ sin(\alpha ) = \frac{4}{2\sqrt{5}} \rightarrow \alpha = asin\left( \frac{4}{2\sqrt{5}} \right) = 63.435^\circ $$ $$ sin(\beta ) = \frac{2}{2\sqrt{5}} \rightarrow \beta = asin\left( \frac{2}{2\sqrt{5}} \right) = 26.565^\circ$$
Puedes comprobar que los ángulos están bien calculados sabiendo que la suma de los tres ángulos (interiores) de un triángulo siempre suman 180º.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

Moderador global.

jos3
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Re: ¿Trigonometria: calcular angulos de un triangulo rectangulo?

Mensajepor jos3 » 20 Ago 2017, 19:42

Gracias, no entiendo de donde salio 2√5 y porque se usa el teorema del seno? y cuando el teorema del coseno? en que caso se utilizan?

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Re: ¿Trigonometria: calcular angulos de un triangulo rectangulo?

Mensajepor Jollofa » 20 Ago 2017, 19:58

Respecto a lo primero, $$ \sqrt{20} = \sqrt{4\cdot 5} = $$ $$=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$$ Respecto a lo segundo, es una cuestión personal. Si conoces ambos teoremas, puedes emplear el que más te guste o más fácil te resulte.

Si usamos el teorema del coseno: $$ 4^2 = 2^2 + h^2 -2\cdot 2\cdot h \cdot cos(\alpha ) $$ $$ \frac{16-4-h^2}{-4h}= cos(\alpha ) $$ $$ \frac{12-20}{-8\sqrt{5}} = cos(\alpha ) $$ $$ \frac{1}{\sqrt{5}} = cos(\alpha )$$ $$ \alpha = acos(1/\sqrt{5}) = 63.435^\circ $$ Personalmente, me gusta más el teorema del seno porque son igualdades entre fracciones y me resulta más rápido despejar.

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Re: ¿Trigonometria: calcular angulos de un triangulo rectangulo?

Mensajepor jos3 » 20 Ago 2017, 20:05

Muchas gracias Jollofa, una pregunta más porque se utiliza asin?

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Re: ¿Trigonometria: calcular angulos de un triangulo rectangulo?

Mensajepor Jollofa » 20 Ago 2017, 20:31

El arcoseno de $x$ puede escribirse $arcsin(x)$, $asin(x)$, $sin^{-1}(x)$ e incluso $arcoseno(x)$. Personalmente, te recomiendo utilizar $asin(x)$ o $arcsin(x)$, que son las más utilizadas en los textos científicos (que suelen ser en ingles).

La función $arcsin$ es la inversa de la función seno. El seno de un ángulo $\alpha$, $sin(\alpha )$, es un número entre -1 y 1. La función $arcsin$ de $x$ proporciona el ángulo $\alpha $ cuyo seno es $x$ (siendo $-1\leq x \leq 1$).

Por tanto, si $sin(\alpha ) = x$, entonces $asin(x) = \alpha$.

Lo mismo para el $cos(\alpha )$ y el $arccos(x)$.

En el teorema del seno y del coseno normalmente conoces el coseno (o el seno) de un ángulo. Entonces, debes utilizar el arcsin (o el arccos) para calcular el ángulo.

En las calculadoras, el $asin$ suele escribirse como $sin^{-1}$ y el $acos$, como $cos^{-1}$.

Un saludo.

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Re: ¿Trigonometria: calcular angulos de un triangulo rectangulo?

Mensajepor jos3 » 21 Ago 2017, 15:57

grazie mille :)


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