Ecuación matricial

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Ecuación matricial

Mensajepor Jollofa » 19 Abr 2017, 09:42

Andrea escribió:Sean $A, B, X$ matrices $nxn$ invertibles. Despeje en la siguiente ecuación $X$, teniendo en cuenta que la matriz $A$ es simétrica: $$A^2BX^{-1}-3A=A^T$$

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Re: Ecuación matricial

Mensajepor Jollofa » 19 Abr 2017, 09:43

Como la matriz $A$ es simétrica, es igual a su traspuesta: $A^T=A$, por tanto, la ecuación queda $$A^2BX^{-1}-3A=A$$ Operamos: $$A^2BX^{-1}=A+3A$$ $$A^2BX^{-1}=4A$$ $$A^2BX^{-1}=4\cdot I_n\cdot A$$ $$A^2BX^{-1}=A\cdot (4\cdot I_n)$$ Como $A$ tiene inversa, multiplicamos por la inversa de $A$ por el lado izquierdo: $$A^{-1}\cdot A^2BX^{-1}=A^{-1}\cdot A\cdot (4\cdot I_n)$$ $$ABX^{-1}=I_n \cdot (4\cdot I_n)$$ $$ABX^{-1}=4 I_n \cdot I_n$$ $$ABX^{-1}=4 I_n $$ Multiplicamos por $X$ por el lado derecho: $$ABX^{-1} \cdot X =4 I_n \cdot X $$ $$AB=4X $$ $$\frac{1}{4}AB = X$$

Si tienes alguna duda, pregunta. Hemos usado algunas propiedades, por ejemplo, que el producto de una matriz por la matriz identidad ($I_n$) conmuta (en matrices cuadradas).


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