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Funciones trigonometricas - duda

Publicado: 12 Abr 2017, 07:11
por speedtest
Hola buenas noches, me podrias ayudar a obtener el valor exacto de:

Cos^1(1/2)
Necesito que me lo expliqueis por favor.
La respuesta tiene que ser pi/3.

Re: Funciones trigonometricas - duda

Publicado: 12 Abr 2017, 09:57
por Jollofa
Con $cos^{-1} (x)$ no se refieren a $\frac{1}{cos(x)}$ sino a la función inversa del coseno: $arccos(x)$ La función coseno toma valores de $[0,\pi]$ en $[-1,1]$, es decir, $$cos: [0,\pi] \rightarrow [-1,1]$$ mientras que su inversa es $$arccos: [-1,1] \rightarrow [0,\pi]$$ Si $\alpha$ es un número de $[0,\pi]$ y $cos(\alpha) = \beta$, entonces $arccos(\beta) = \alpha$.

Por tanto, $$cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$$ puesto que $$cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $$ Dicho en un tono coloquial, el arcocoseno del coseno de un ángulo $\alpha$ es el propio ángulo $\alpha$. Matemáticamente, $$arccos(cos(\alpha)) = \alpha ,\forall \alpha\in [0,\pi]$$ $$cos(arccos(\beta))=\beta ,\forall \beta\in [-1,1]$$

Re: Funciones trigonometricas - duda

Publicado: 13 Abr 2017, 01:43
por speedtest
Hola buenas tardes, gracias por tu respuesta.
Pero no la logro comprender... no entiendo de donde sacas la limitante de que coseno solo puede ser de [0,π] y como esto al mismo tiempo es [−1,1].
Disculpa mi ignorancia y si ves conveniente sugiere me por favor algún tema, libro o video que creas conveniente para mi comprensión.

Imagen

* No se si es de aquí que sacas los primeros las limitantes.

Gracias.

Re: Funciones trigonometricas - duda

Publicado: 13 Abr 2017, 10:30
por Vicent
speedtest, creo que el problema no es tanto con ese ejercicio en particular, sino con la comprensión de la función del coseno. Por un lado, el coseno es una función que a cualquier valor de los números reales le otorga un valor en el intervalo $[-1,1]$. Este codominio (o recorrido) es $[-1,1]$ por definición del coseno. El coseno se define en una circunferencia de radio 1, de forma que sus valores siempre quedan entre -1 y 1.

Por otro lado, los ángulos pueden expresarse en radianes (rad). Una vuelta completa (es decir, 360º) son 2$\pi$ rad. La función del coseno es periódica con período 2$\pi$ rad. Así, normalmente se presenta con el dominio $[0,2\pi]$, pues conociendo lo que ocurre en este intervalo se conoce lo que ocurre en todo $\mathbb{R}$:

$$ cos: [0,2\pi]\rightarrow [-1,1].$$

Si expresas los ángulos en grados, sería:

$$ cos: [0,360]\rightarrow [-1,1].$$


Si no lo tienes muy claro, busca el dibujo de la circunferencia unidad para entender bien el coseno (y el seno y la tangente). Como te han indicado, $cos^{-1} (1/2)$ es el ángulo tal que el valor de la función coseno en ese ángulo nos da 1/2. Cuando uno empieza a trabajar con senos y cosenos, hay unas razones que aprende de memoria. Entre ellas, está la de $cos(60)=1/2$. Si lo quieres expresar en radianes, 60º son $\frac{\pi}{3}$ rad.


¡Espero haberte ayudado en algo!

Re: Funciones trigonometricas - duda

Publicado: 13 Abr 2017, 13:18
por Jollofa
Creo que no tienes claro los conceptos:

El coseno es una función a la que le proporcionas un ángulo y le asigna un número entre -1 y 1.
Por ejemplo, $$cos(0^\circ ) = 1$$ $$cos(180^\circ ) = -1$$ $$cos(90^\circ ) = 0$$ La función arcocoseno es la función inversa. Esto significa que le proporcionas un número entre -1 y 1 y te asigna el ángulo que tiene por coseno dicho número. Por ejemplo, $$ arccos(1) = 0^\circ$$ $$arccos(-1) = 180^\circ $$ $$arccos(0) = 90^\circ$$ Como decía Vicente, un ángulo lo puedes expresar en grados ($^\circ $) o en radianes. Por ejemplo, $0^\circ$ son 0 radianes, $180^\circ$ son $\pi$ radianes, $90^\circ $ son $\pi /2$ radianes.

Para pasar de grados a radianes, multiplicas por $\pi $ y divides entre 180. Para pasar de radianes a grados, multiplicas por 180 y divides entre $\pi$.
Por ejemplo, pasamos $\frac{3\pi}{4}$ radianes a grados: $$ \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi \cdot 180}{4\pi} = \frac{3 \cdot 180}{4}^\circ = 135^\circ$$

PD: para saber cuánto es el coseno de un ángulo debes usar la calculadora o mirar en alguna tabla (por ejemplo, en Wikipedia hay tablas). Lo normal es aprenderse de memoria algunos valores de la tabla...