Ayuda con explicación de trucos matemáticos

akhesa
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Ayuda con explicación de trucos matemáticos

Mensajepor akhesa » 04 Abr 2017, 08:16

Buenos días a todos:

Soy estudiante de magisterio y tengo una asignatura que se llama didáctica de las matemáticas. Tenemos que hacer un taller para trabajar algunos aspectos de las mates desde una perspectiva más motivadora y yo he pensado en hacer trucos de magia matemáticos y después explicar a partir de cada uno de ellos el concepto a aprender por parte de los alumnos.

El problema que tengo es que hay algunos trucos que no comprendo. Por eso, os rogaría que me ayudarais para saber en qué principios se basan y poder explicarlo bien a los niños, porque de lo contrario les llamará la atención pero no aprenderán por qué funcionan.

El primero es este:
principio de valor posicional sobre el que se sustenta nuestro sistema de numeración
"Dile a tu amigo que revise el dinero que tiene en el bolsillo y que calcule en secreto (mentalmente) lo siguiente:
Que multiplique esa cifra x 10
Que le sume 25
Que le sume el número de hermanas
Que lo multiplique x 10
Después que sume el número de hermanos
Que le reste 250.
En ese resultado, la cifra de las unidades es el número de hermanos, la de las decenas el número de hermanas, y el resto es la cantidad de dinero que lleva en el bolsillo."

Yo creo que este problema está basado en el principio de valor posicional sobre el que se sustenta nuestro sistema de numeración, porque antes de cada nueva suma se multiplica por 10. De esta manera, logras que los datos de hermanos, hermanas y dinero no se mezclen entre sí. Por eso mismo, basándonos en el sistema posicional y teniendo en cuenta el lugar que ocupará el dinero al final se hace la resta de 250 para quitar la suma de 25 x 10 del inicio del planteamiento y conseguir las cantidades iniciales.

El segundo truco es:

Se le dice a la persona que escriba un número de tres cifras diferentes entre sí.
Ahora se escribe el número invirtiendo el orden de las cifras.
Se resta el número mayor del menor.
Ahora al resultado se le suma el número que sale de invertir sus cifras.
El resultado siempre es 1089.

El problema es que no sé por qué. Lo busqué en un apartado que ponía trucos de múltiplo y divisores pero no sé exactamente por qué funciona. Y del tema de divisibilidad me gustaría poner un truco. Por eso, os agradecería si me ayudarais con la explicación.

Los siguientes trucos están basados en la topología. Me ponía que en la topología una circunferencia y un triángulo son la misma figura pues se puede pasar de uno a otro de forma continuada. Entonces, teniendo a los chavales atados con cuerdas en parejas, si se hace un bucle con una cuerda y se mete por la muñeca del compañero se sueltan. Pero es que lo de la topología no lo entiendo muy bien.

Por eso, os pediría que me ayudarais con la explicación de estos trucos para poderlo hacer en clase y que los chavales aprendan de forma más enriquecedora.

Muchas gracias por todo.

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Jollofa
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Re: Ayuda con explicación de trucos matemáticos

Mensajepor Jollofa » 04 Abr 2017, 10:50

Primer problema

Si $d$ es la cantidad de dinero, $x$ la cantidad de hermanas e $y$ la cantidad de hermanos, entonces las operaciones que se realizan son $$ (10d+25+x)\cdot 10 + y -250$$ Al simplificar esta expresión, es decir, el resultado de las operaciones es $$100d + 10x + y$$ Como decías, puesto que el sistema es posicional, las unidades son $y$ (hermanos), las decenas son $x$ (hermanas) y el resto es $d$. Pero claro, fíjate que el truco no funciona si el número de hermanas o hermanos es mayor que 9.

El Segundo problema es bastante más complicado de explicar. En unas horas te envío el razonamiento porque ahora estoy ocupado, pero te adelanto que un niño no podrá comprenderlo.

El Tercer problema tampoco creo que sea adecuado para niños. Dos espacios topológicos son iguales (homeomorfos) si tienen las mismas propiedades topológicas y éstas se mantienen por homeomorfismos (aplicaciones continuas con inversa continua). De un triángulo puede pasarse a una circunferencia mediante un homeomorfismo, por lo que son espacios topológicamente iguales. Demasiado difícil para un niño, ¿no?

Los trucos de adivinar u obtener el mismo número son fáciles de inventar. Sólo tienes que escribir los pasos como una ecuación. Por ejemplo:

Piensa en un número: $x$
Multiplica por 2: $2x$
Suma 2: $2x+2$
Multiplica por 4: $8x+8 = 8(x-1)$
Divide entre 8: $x-1$
Suma 1: $x$
Comienzas con $x$ y después de las operaciones tienes $x$

Supongo que por internet habrá gran variadad de estos problemas
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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Jollofa
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Re: Ayuda con explicación de trucos matemáticos

Mensajepor Jollofa » 04 Abr 2017, 17:16

Veamos el segundo problema:

Sea $xyz$ un número de tres cifras. Es decir, el número es $100x+10y+z$. Si cambiamos el orden, el número es $zyx$.
Podemos suponer que $x>z$, así, la resta $xyz - zyx$ es positiva. La calculamos:
$$xyz - zyx = $$ $$ = (100x+10y+z) -(100z+10y+x) = $$ $$ = 100(x-z)+(z-x) = $$ $$ = 100(x-z)-(x-z) = $$ $$ = 99(x-z) $$
Ahora hay que restar a $99(x-z)$ el número que resulta al cambiar el orden de sus cifras, pero esto es un poco complicado.

Hagamos un inciso: el producto $99\cdot a$ (siendo $1< a \leq 9$) es siempre un número de tres cifras de la forma $a_1 9 a_3$ de modo que $9\cdot a = a_1a_2$ y además, la suma $a_1+a_2$ es siempre 9 (esto último se utiliza en el último paso).

Por tanto, sabemos que el número $99(x-z)$ es de la forma $a_1 9 a_2$ y al cambiar sus cifras se obtiene $a_29a_1$. El último paso es sumar estos dos números: $$a_1 9 a_2 + a_2 9 a_1 =$$ $$= (a_1+a_2)100 + 180 + a_1+a_2 =$$ $$ = (101)(a_1+a_2) + 180 =$$ $$ = (101)\cdot 9 + 180 = 1089$$

Vicent
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Re: Ayuda con explicación de trucos matemáticos

Mensajepor Vicent » 04 Abr 2017, 19:00

Una forma parecida de resolverlo es la siguiente.

Sea A=abc el número de tres cifras. Escrito en base 10, A es 100a+10b+c. A invertido es 100c+10b+a.

Supongamos que a es mayor o igual que c, entonces la resta es:

$$100a+10b+c-(100c+10b+a)=100(a-c)+c-a=100(a-c-1)+90+(10+c-a) (*)$$

(*) invertido es:
$$100(10+c-a)+90+(a-c-1) (**)$$

Sumamos, tal y como nos indica el enunciado, (*) y (**) y obtenemos:

$$100(a-c-1+10+c-a)+(90+90)+(10+c-a+a-c-1)=900+180+9=1089.$$


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