Problema de divisibilidad

alice333
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Problema de divisibilidad

Mensajepor alice333 » 21 Mar 2017, 15:41

Determinar todas las parejas de enteros positivos $(b,a)$ tales que $b \geq a$ y $$\frac{a^3+1}{b\cdot a-1}$$ es entero

Karma
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Re: Problema de divisibilidad

Mensajepor Karma » 21 Mar 2017, 17:13

¿cómo debes resolver el problema? desde una perspectiva algebraica, analítica, computacional...

¿Qué tema estás estudiando y de qué curso es?

Yo lo hice computacionalmente y, si no me equivoco, las parejas son $$ (2,1), (3,1)$$ $$ (2,2), (5,2)$$ $$(5,3)$$

alice333
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Re: Problema de divisibilidad

Mensajepor alice333 » 21 Mar 2017, 18:27

Si estas son la soluciones, pero cerco una solucion algebrica y de demostrar que son las unica soluciones...

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Jollofa
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Re: Problema de divisibilidad

Mensajepor Jollofa » 22 Mar 2017, 00:15

Karma escribió:las parejas son $$ (2,1), (3,1)$$ $$ (2,2), (5,2)$$ $$(5,3)$$


Si $a\leq 4$, las parejas ya sabemos cuáles son. Consideremos ahora el caso en el que $ a\geq 4$:

Supongamos que $\frac{a^3+1}{ab-1}$ es el entero $m$ (en realidad, $m$ debe ser un natural). Entonces,
$$ a^3 +1 = m(ab-1) $$ Por otro lado, sabemos que $ab -1 \equiv -1 \ mod\ a$, $a^3 +1 \equiv -m \ mod\ a$ y por tanto $m \equiv -1 \ mod\ a$ Esto implica que existe un natural $k$ tal que $m+1 =ak $, por lo que $m = ak-1$

Volviendo al principio, $$ a^3 +1 = m(ab-1) =$$ $$= (ak-1)(ab-1) = $$ $$= a^2 bk - ab - ak + 1 $$ Simplificando, una solución es $a = 0$ (no interesa) y las otras son las raíces de $$a^2-abk+(b+k)=0$$ es decir, $$a = \frac{bk \pm \sqrt{b^2 k^2 - 4(b +k)}}{2}$$

Supongamos que $k = 1$. Entonces, $$a = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4(b +1)}}{2}$$ $a$ sólo es un natural si $b = 5$ y tendríamos los valores $a = 2$ y $a = 3$ (estos casos ya los teníamos).

Supongamos que $k \geq 2$, entonces $$a^2 - abk + (b+k) \le a^2-2ab+(b+2)=(a^2-ab)+(-ab+b+2)<0$$ y esto no es posible.

Por tanto, las parejas dadas al comienzo son las únicas.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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alice333
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Re: Problema de divisibilidad

Mensajepor alice333 » 22 Mar 2017, 20:42

Gracias Jollofa, solucion chiara y semplice.
Saludos de Italia. :)


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