Demo de algebra

Enzo
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Demo de algebra

Mensajepor Enzo » 01 Dic 2016, 14:17

Hola, como puedo hacer para demostrar lo siguiente:

Siendo T: V->V un endomorfismo y S incluido en V tal que S es subespacio. demostrar que T(S) es subespacio.

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Re: Demo de algebra

Mensajepor Jollofa » 01 Dic 2016, 15:03

Si no recuerdo mal, lo siguiente debería servir:

Sea el $V$ un $k-$espacio vectorial, $T: V\rightarrow V$ es un endomorfismo (homomorfismo de $V$ en $V$) si

  • $T(a+b) = T(a)+T(b), \forall a, b\in V$
  • $T(\alpha\cdot a) = \alpha \cdot T(a), \forall a\in V, \forall \alpha \in K$
  • $ T(0_V)=0_V$
  • $T(-a)=-T(a), \forall a\in V$

Usaremos estas propiedades de los endomorfismos. Por otro lado,

Sea $S$ un subconjunto no vacío de $V$, entonces es un subespacio si

  • $\forall a, b \in S, a+b\in S$
  • $\forall a\in S, \forall \alpha \in K, \alpha\cdot a\in S$

Como $S$ no es vacío, $T(S)$ tampoco lo es. Veamos que se cumplen las dos condiciones de la caracterización anterior:

Sean $x,y \in T(S)$, puesto que $T(S)$ es la imagen de $S$, existen $a, b\in S$ tales que $T(a)=x,\ T(b)=y$. Es inmediato que $x+y\in T(S)$ ya que $x+y = T(a)+T(b) = T(a+b)$, y como $a+b\in S$, entonces $x+y=T(a+b)\in T(S)$.

Sea $\alpha \in K$, entonces $\alpha \cdot x \in T(S)$ ya que $\alpha\cdot x = \alpha\cdot T(a) = T(\alpha \cdot a) \in T(S)$ (puesto que $\alpha \cdot a\in S$).
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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Re: Demo de algebra

Mensajepor Jollofa » 01 Dic 2016, 15:12

Revisa las últimas líneas que acabo de cambiar $x+y\in S$ por $x+y\in T(S)$ y alguna errata más de este tipo. disculpa
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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Re: Demo de algebra

Mensajepor Enzo » 01 Dic 2016, 17:51

Entiendo, creo que sigo la idea

Si no es mucha molestia también tengo problemas para demostrar si es verdadero y falso que
1)A y B dos matrices simétricas de igual orden tales que sus autovalores son todos positivos para ambas, entonces los autovalores de A + B son todos positivos
2)Si A distinto de cero/ A^3 - 2(A^2) +3Id = 0 entonces Det(A)=0

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Re: Demo de algebra

Mensajepor Jollofa » 02 Dic 2016, 11:12

Respecto al primer apartado, se puede demostrar como consecuencia de otras propiedades:

  • Las matrices reales simétricas son Hermíticas.
  • La suma de matrices Hermíticas es Hermítica.
  • Una matriz Hermítica es semidefinida positiva si, y sólo si, todos sus autovalores son positivos.
  • La suma de matrices semidefinidas positivas es semidefinida positiva.

Luego, como $A$ y $B$ son reales y simétricas, son Hermíticas. Como los autovalores de $A$ y de $B$ son positivos y las matrices son Hermíticas, son también semidefinidas positivas. Entonces, la suma $A+B$ es semidefinida positiva y Hermítica y, por tanto, sus autovalores son positivos.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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Re: Demo de algebra

Mensajepor Enzo » 02 Dic 2016, 16:36

Muchas gracias, fue de mucha ayuda!


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