INDUCCIÓN MATEMÁTICA Y SUMATORIA

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Jsebastian009
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INDUCCIÓN MATEMÁTICA Y SUMATORIA

Mensajepor Jsebastian009 » 03 Mar 2018, 22:41

buenas es que tengo una duda sobre estos ejercicios de álgebra. Le he pregunta a algunos tutores y ninguno ha dado con la respuesta, la verdad este taller está algo complicado sobre todo este tipo de puntos.


1---> Demuestre que todo entero positivo n mayor o igual a 12 se puede escribir como la suma de algún múltiplo de 4 y algún múltiplo de 5
2--->Considere la sucesión de Fibonacci dad por ecuación de recurrencia Fsub n+1 = Fsub n + Fsub n-1 donde Fsub 0= o y Fsub 1=1. Halle el valor de

la sumatoria con límite superior 2018, desde i=1. con índice Fsub i

2018
E Fi (E es sigma, solo que no se hacerla en el pc :P)
i=1

Karma
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Re: INDUCCIÓN MATEMÁTICA Y SUMATORIA

Mensajepor Karma » 04 Mar 2018, 09:54

El primero.
La inducción consiste en:

  • demostramos que si se cumple para $n$, entonces se cumple para $n+1$
  • demostramos que se cumple para $n= 12$
Primer paso:
Supongamos que se cumple para $n$: existen $p$ y $m$ tales que $n = 5p + 4m$. Entonces, ¿se cumple para $n+1$?
$$ 5(p+1) + 4(m-1) = 5p + 5 +4m -4 = $$ $$ = 5p + 4m +1 = (5p+4m)+1 = $$ $$=n + 1 $$ Sí se cumple para $n+1$

Segundo paso:
Se cumple para $n=12$ porque $n= 3\cdot 4 + 5\cdot 0$

Como se cumple para $n=12$, se cumple $n+1= 13$. Como se cumple para $n=13$, se cumple $n+1= 14$. Como se cumple ....

El segundo: $$\sum_{i=0}^n f_i = f_{n+2}-1$$ Como $f_0=0$, $$\sum_{i=1}^n f_i=\sum_{i=0}^n f_i = f_{n+2}-1$$

Hay que demostrar por inducción que $$\sum_{i=0}^n f_i = f_{n+2}-1$$
Para $n=1$ se cumple.
Suponemos que es cierto para $n$, es decir que $$\sum_{i=0}^n f_i = f_{n+2}-1$$
¿Se cumple para $n+1$? Es decir, hay que comprobar si $$\sum_{i=0}^{n+1} f_i = f_{n+3}-1$$
Esto es inmediato porque
$$\sum_{i=0}^{n+1} f_i =\sum_{i=0}^{n} f_i + f_{n+1} =$$
Por inducción,
$$ = f_{n+2} -1 + f_{n+1} = $$ $$ = f_{n+3}-1 $$ El último paso es por la definición de la sucesión ($f_{n+1} = f_n +f_{n-1}$)
Un saludo!
Karma (Moderador Global)

Jsebastian009
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Re: INDUCCIÓN MATEMÁTICA Y SUMATORIA

Mensajepor Jsebastian009 » 04 Mar 2018, 15:38

Gracias por responder Karma, una pregunta en el segundo punto me piden evaluar esta sumatoria hasta que i=2018 (esto ni la calculadora lo hace) pero mi pregunta es si se quiere saber un número de la sucesión de Fibonacci hay que saber los 2 anteriores a esos, y también los otros que conforman los anteriores, y así sucesivamente. así que no veo como puede formarse una sumatoria para obtener

Para saber u¡cuanto vale Fsub n+2 debo saber los 2 anteriores a ese número, si mi n=2018 quiere decir que debo saber Fsub2018 y Fsub2019 para poder hacer Fsub n+2.?

Ah y no he entendido muy bien lo del primero ¿por qué le sumas 1 en el 5(p+1) y en el 4m le restas 1? se puede hacer al revés o ese es el orden específico.

Agradezco tu ayuda ;)

Karma
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Re: INDUCCIÓN MATEMÁTICA Y SUMATORIA

Mensajepor Karma » 04 Mar 2018, 18:35

Si $n = 5p+4m$, entonces $n+1 = 5(p+1) + 4(m-1)$
El porqué es sencillo:
  • la diferencia entre $n$ y $n+1$ es una unidad
  • el número $5(p+1)+4m$ tiene 5 unidades más que $5p+4m$ porque $5(p+1)+4m = 5p+4m +5$
  • el número $5+4(m-1)$ tiene 4 unidades menos que $5p+4m$ porque $5p+4(m-1) = 5p+4m-4$
  • Entonces, la forma de calcular $n+1$ es sumarle 5 unidades a $n$ (multiplicar 5 por $p+1$ en lugar de $p$) y restarle 4 unidades (multiplicar 4 por $m-1$ en lugar de $m$), porque sumar 5 unidades y restar 4 es lo mismo que sumar sólo 1 unidad: $n+5-4 = n+1$

Respecto a Fibonacci... la verdad es qué no sé qué forma sencilla puede haber para calcular $f_n$ con $n$ tan grandes. Sé que existen algoritmos para ello, pero suelen utilizarse computacionalmente. ¿En qué curso o asignatura te lo piden?
Un saludo!
Karma (Moderador Global)

Jsebastian009
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Re: INDUCCIÓN MATEMÁTICA Y SUMATORIA

Mensajepor Jsebastian009 » 04 Mar 2018, 19:18

Me lo piden en álgebra Lineal (primer nivel), no sé si la Fórmula de Binet esté permitida, pero de igual forma la n es muy grande para ser calculado.

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Jollofa
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Re: INDUCCIÓN MATEMÁTICA Y SUMATORIA

Mensajepor Jollofa » 04 Mar 2018, 21:36

$$ f_n = \frac{\varphi^n - (1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}$$ donde $$ \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.1618$$
$$ f_n \approx \frac{1.618^n - (-0.618)^n}{\sqrt{5}}$$
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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