Necesito ayuda límite lateral

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ayoub20600
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Necesito ayuda límite lateral

Mensajepor ayoub20600 » 01 Ene 2018, 19:50

Hola,

Antes de vacaciones nuestro profe nos ha dado este problema para resolver y no hay manera de hacer-lo. A ver si me podéis ayudar:

Para decorar la casa del lago donde vais a pasar las navidades con vuestros amigos, debes colocar luces y guirnaldas. No hay problema con las luces pero las guirnaldas que habéis comprado son otro tema.

El enunciado
Esta nueva generación de guirnaldas de navidad consiste en una fibra eléctrica que se ilumina según los patrones que prefieras.

La fibra eléctrica no se lleva muy bien con el agua evidentemente. Te han comentado que una vez instalada en la fachada de la casa del lago, esta seguirá la función:

f(x) = -ln 0.2x - log x

Sabiendo que el nivel del agua del lago esta en y=0.

1- Puedes saber si toca el agua la guirnalda?

2- Si lo hace, puedes delimitar la zona de contacto a un intervalo menor de 0.5, es decir [x-0.25,x+0.25]?

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Re: Necesito ayuda límite lateral

Mensajepor Karma » 02 Ene 2018, 10:18

$$ log(x) = \frac{ln(x)}{ln(10)}$$
Entonces $$0 = f(x) = ln(5/x) - \frac{ln(x)}{ln(10)} $$ $$ 0 = ln\left( \frac{5}{x^\frac{1+ln(10)}{ln(10)}}\right)$$ $$ 1 = \frac{5}{x^\frac{1+ln(10)}{ln(10)}} $$ $$ x = 5^a,\ a = \frac{ln(10)}{1+ln(10)} \simeq 0.6972$$
Un saludo!
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ayoub20600
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Re: Necesito ayuda límite lateral

Mensajepor ayoub20600 » 02 Ene 2018, 20:51

La verdad es que no me queda claro lo del ln(5/x) , y sabiendo que el nivel del agua está a 0, entonces el resultado es que no toca el agua.
Después nos piden si toca el agua, calcular el límite lateral. Entiendo que no toca porque el resultado no es 0, así que no hace falta.

vuelvo a la pregunta. No entiendo porque ln(5/x) porque al enunciado tengo -ln 0,2, aparte haciendo cálculos primero igualas a 0 que entiendo que es el nivel del agua, pero después a 1?.
Calculando la primera línea, esto me queda así:



Saludos
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Re: Necesito ayuda límite lateral

Mensajepor Karma » 03 Ene 2018, 10:43

Debí explicarme un poco más.

Primero, el logaritmo $ln(5/x)$ viene de

$$ -ln(0.2\cdot x) = -ln\left(\frac{2\cdot x}{10}\right)=$$ $$ = -ln\left(\frac{x}{5}\right) = -1\cdot ln\left(\frac{x}{5}\right) $$ Escribimos el -1 dentro del logaritmo: $$ -1\cdot ln\left(\frac{x}{5}\right) = ln\left(\left(\frac{x}{5}\right)^{-1}\right)=$$ $$= ln\left(\frac{5}{x}\right)$$ Por tanto, la función es $$f(x) = ln(5/x) - \frac{ln(x)}{ln(10)} =$$ $$= ln(5/x) - ln(x^{1/ln(10)})$$ He escrito la constante $1/ln(10)$ dentro del logaritmo. Ahora calculamos la resta de los logaritmos: $$ ln(5/x) - ln(x^{1/ln(10)}) = ln\left( \frac{5/x}{x^{1/ln(10)}}\right) =$$ $$= ln\left( \frac{5}{x^\frac{1+ln(10)}{ln(10)}}\right)$$ Hay que resolver la ecuación $$ 0 = f(x) = ln\left( \frac{5}{x^\frac{1+ln(10)}{ln(10)}}\right)$$ Si tenemos que un logaritmo es 0, entonces su argumento es 1. Es decir, si $log(\alpha ) = 0$, entonces $\alpha = 1$. De donde $$ 1 = \frac{5}{x^\frac{1+ln(10)}{ln(10)}} $$ $$5 = x^\frac{1+ln(10)}{ln(10)}$$ Finalmente, se despeja la $x$: $$ x = 5^a,\ a = \frac{ln(10)}{1+ln(10)}$$ $$ a \simeq 0.6972$$ $$ 5^a\simeq 3.07133$$ Luego la solución es $ x= 5^a,\ f(5^a) = 0$.
Un saludo!
Karma (Moderador Global)

YUL GONCALVES
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Re: Necesito ayuda límite lateral

Mensajepor YUL GONCALVES » 21 Ene 2018, 07:22

1- Puedes saber si toca el agua la guirnalda?

Efectivamente la toca a una distancia de 3,07133 unidades (metros por ejemplo) contando desde el origen:
$x= 0,2^a= 3,07133 $
con $a= -ln10/(1+ln10) $


2- Si lo hace, puedes delimitar la zona de contacto a un intervalo menor de 0.5, es decir [x-0.25,x+0.25]?, no la entiendo del todo, pero si lo que se quiere es que la función quede a 0.5 del nivel del agua que está en y=0, entoces, si haces f(x)=0.5, al despejar x nos dá:

$x= (0.2 . e^b)^a= 2.16735 $
con $a= -ln10/(1+ln10) $ y $b= 0.5 $

Es decir si $2.16735 < x < 3.07133 $ entonces la zona de contacto de la guirnalda con el agua es menor a 0.5 sin que toque el agua.

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