Problema de matemática binária

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ayoub20600
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Problema de matemática binária

Mensajepor ayoub20600 » 23 Oct 2017, 22:29

Hola,
Tengo este enunciado de un problema de suma, resta, división, multiplicación, pero es que no entiendo exactamente lo que me pide.

Enunciado:
Imagina que tienes 1100 años y estas en tu clase de matemáticas en el planeta 10. En el planeta 10 todo el sistema matemático se rige por el sistema binario, obviamente.

El profesor, señor 100, pone un problema en la pizarra. Te pide que salgas a resolverlo paso por paso explicando cada una de las operaciones que hagas. El enunciado del problema es el siguiente:

“El producto de 11 números es igual a 111100. Si al 1º le sumamos el 10º y le restamos el 11º el resultado es 100. Además 11 veces el 11º entre el 1º es igual también a 100. ¿Qué números son?”

Escribe lo que harías en la pizarra.



Cuando acaba la clase el profesor 100 os envía una tarea para el día siguiente:

“Un tren sale de la ciudad A a una velocidad de 1100100 km/h. Otro tren sale de la ciudad B, situada a 100101100 km de A, 10100 minutos después en dirección contraria a 1101001 km/h.

¿Cuánto tardan en encontrarse?”

¡Resuélvelo teniendo en cuenta que vives en el planeta 10!

A ver si alguien puede explicar-me-lo mejor.

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Jollofa
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Re: Problema de matemática binária

Mensajepor Jollofa » 24 Oct 2017, 10:01

Como el profesor utiliza el sistema binario, el enunciado está escrito en sistema binario. Por tanto, debes buscar 3 números (11 en decimal es 3). El 1º número equivale al primer número, el 10º número equivale al 2º y el 11º número equivale al 3º.

Si $x$, $y$ y $z$ son el primer, segundo y tercer número, las ecuaciones son (en decimal) $$ x\cdot y \cdot z = 60$$ $$ x+y-z = 4$$ $$ 3\cdot z/x = 4 $$ La solución es $x = 3, y =5, z =4$
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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ayoub20600
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Re: Problema de matemática binária

Mensajepor ayoub20600 » 24 Oct 2017, 21:08

con que manera has resuelto la ecuación?
Has utilizado el metodo Gauss?
Agradecería la manera de determinación de las 3 incógnitas

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Jollofa
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Re: Problema de matemática binária

Mensajepor Jollofa » 27 Oct 2017, 10:18

No, no puedes resolver mediante Gauss ya que la primera ecuación no es lineal. Lo resolví por sustitución (aislar incógnitas y sustituir en las otras ecuaciones).
De la tercera ecuación, $$z = 4x/3$$ Sustituyes en la segunda: $$x+y -4x/3 = 4$$ $$ y = (x +12)/3$$ Sustituyes en la primera: $$x\cdot \left(\frac{x+12}{3}\right)\cdot (4x/3) = 60$$ De esta última ecuación, $x=3$. Por tanto, $$ y = 15/3 = 5$$ y $$z = 12/3 = 4$$
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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ayoub20600
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Re: Problema de matemática binária

Mensajepor ayoub20600 » 28 Oct 2017, 15:34

en la 3 de X. Como sabes que X=3?

Me imagino que hay que hacer el metodo Newton-Raphson?
Lo he intentado hacer, pero no sé si al sustituir la Y y la Z, lo que queda es una función o no.
Entiendo que hay que hacer una aproximación.

Solo necesito que me aclares la duda, porque el otro metodo es empezar sustituyendo la x=0; x=1;x=2;x=3 hasta que se cumplan las 3 ecuaciones.

Gracias por tu grandísima ayuda.

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Jollofa
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Re: Problema de matemática binária

Mensajepor Jollofa » 28 Oct 2017, 19:08

No, el método que seguí es muy básico. Se llama sustitución. Dicho método se aplica cuando tienes un sistema de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas y consiste en, si es posible, aislar variables en unas ecuaciones para sustituirlas en las otras.
Al aplicarlo, se obtiene la ecuación con una única incógnita $$x\cdot \left(\frac{x+12}{3}\right)\cdot (4x/3) = 60$$ Al calcular los productos, se obtiene una ecuación de 3r grado que se puede resolver por el sencillo método de Ruffini, obteniendo $x =3$.

Una vez tienes $x = 3$, sólo hay que sustituir su valor para calcular $y$ y $z$.

Un ejemplo del método de sustitución: considera el sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas $3x+y = 5$ y $2x - 3y = -4$. De la primera ecuación se obtiene que $y = 5-3x$. Ahora, se sustituye la $y$ en la segunda ecuación (donde aparece la $y$ se escribe $5-3x$): $$ 2x -3y = -4$$ $$2x -3(5-3x) =-4 $$ La última ecuación tiene sólo una incógnita. Es una ecuación de primer grado. La resolvemos: $$2x -3(5-3x) =-4 $$ $$2x -15 +9x =-4 $$ $$ 11x = -4+15 $$ $$11x = 11$$ $$x = \frac{11}{11} = 1$$ Por tanto, $x = 1$. Ahora se sustituye $x$ por 1 en la ecuación $y = 5-3x$ obteniendo $y = 5-3\cdot 1 = 2$.

Te dejo algunos enlaces:
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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ayoub20600
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Re: Problema de matemática binária

Mensajepor ayoub20600 » 29 Oct 2017, 19:38

La sustitución ya sé como se hace.
Sé hacer el método ruffini, pero lo que pasa es que tengo 4x^2 * (12-x) / 9
si subo 9 pasaré multiplicando, pero al ruffini necesito el divisor (x-a) que creo que debería ser -9, pero el resultado me sale diferente.
sé también que sirve para bajar el grado de la fuerza, pero sigo sin llegar encontrar el divisor.
solamente necesito la operación del ruffini. como se hace ya lo sé.
Gracias por tu ayuda

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Jollofa
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Re: Problema de matemática binária

Mensajepor Jollofa » 29 Oct 2017, 20:09

Hola, ayoub20600, no te pongas nervioso :P

la ecuación es $$ x\cdot \frac{x+12}{3} \cdot \frac{4x}{3} = 60$$

Lo digo porque escribiste $12-x$.

Simplificamos la ecuación:

Pasamos los denominadores a la derecha: $$ x\cdot (x+12)\cdot (4x) = 3\cdot 3\cdot 60$$ $$ x\cdot (x+12)\cdot (4x) = 540$$ Calculamos los productos de la izquierda: $$ (x^2+12x)\cdot 4x = 540$$ $$4x^3+48x^2= 540$$ Por tanto, la ecuación de tercer grado es $$ 4x^3 +48x^2 -540 = 0$$ Aaplicamos Ruffini: los primeros divisores de 540 son: 1, 2, 3, 4, 5...
Probamos con 1-> no funciona
Probamos con 2-> no funciona
Probamos con 3 -> funciona!

Luego una solución es $x=3$ y obtenemos la ecuación de segundo grado $4x^2+60x+180 = 0$. Las soluciones de esta ecuación no son números naturales, así que no sirven para el problema.

Ten en cuenta que al aplicar Ruffini, tienes que escribir un 0 correspondiente al coeficiente del término $x$ (no presente en la ecuación).
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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Re: Problema de matemática binária

Mensajepor Jollofa » 29 Oct 2017, 20:15

ruffini.png
ruffini.png (1.49 KiB) Visto 103 veces

ayoub20600
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Re: Problema de matemática binária

Mensajepor ayoub20600 » 16 Nov 2017, 20:32

Muchísimas gracias por tu gran ayuda.
Ahora ya me quedó muy claro. :D :D :D :D


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