álgebra lineal

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tefa
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álgebra lineal

Mensajepor tefa » 27 Ago 2017, 21:19

buenas tardes,¿me podrían ayudar por favor con este ejercicio?
-Encontrar a, b y c para que el siguiente sistema de ecuaciones tenga infinitas soluciones y escribir la solución general
3x + 7y – z = a
x + 3y + z = b
-x – 2y +z =c

gracias

Karma
Mensajes: 114
Registrado: 21 Abr 2016, 17:00

Re: álgebra lineal

Mensajepor Karma » 28 Ago 2017, 12:04

La matriz del sistema es
$$\left(\begin{array}{ccc|c}
3 & 7 & -1 & a\\
1 & 3 & 1 & b \\
-1 & -2 & 1 & c
\end{array}\right)$$

Realizamos operaciones entre las filas de las matrices (obteniendo matrices equivalentes). La fila 1, fila 2 y fila 3 serán $F1$, $F2$ y $F3$ respectivamente.

A F1 le sumamos 3·F3 y a F2 le sumamos F3:

$$\left(\begin{array}{ccc|c}
0 & 1 & 2 & a+3c\\
0 & 1 & 2 & b+c \\
-1 & -2 & 1 & c
\end{array}\right)$$

A F2 le restamos F1:

$$\left(\begin{array}{ccc|c}
0 & 1 & 2 & a+3c\\
0 & 0 & 0 & b-a-2c \\
-1 & -2 & 1 & c
\end{array}\right)$$

A F3 le sumamos 2·F1:

$$\left(\begin{array}{ccc|c}
0 & 1 & 2 & a+3c\\
0 & 0 & 0 & b-a-2c \\
-1 & 0 & 5 & 2a+7c
\end{array}\right)$$

Cambiamos el orden: primera fila será F3, la segunda será F1 y la tercera será F2:

$$\left(\begin{array}{ccc|c}
-1 & 0 & 5 & 2a+7c\\
0 & 1 & 2 & a+3c\\
0 & 0 & 0 & b-a-2c
\end{array}\right)$$

Multiplicamos F1 por -1:

$$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -5 & -2a-7c\\
0 & 1 & 2 & a+3c\\
0 & 0 & 0 & b-a-2c
\end{array}\right)$$

Por Rouché-Frobenius, si $b-a-2c \neq 0$, el sistema es incompatible (no tiene solución). Si $b-a-2c = 0$, el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones). Las soluciones son (la solución general)


$$\begin{array}{cc}
x = & -2a-7c+5\lambda\\
y = & a+3c-2\lambda\\
z = & \lambda\in\mathbb{R}
\end{array}$$

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