Ecuación exponencial de base 5

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Jollofa
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Ecuación exponencial de base 5

Mensajepor Jollofa » 15 Ene 2017, 08:55

Cómo resolver la ecuación exponencial de base 5: $$ 125^{2x + 5}= 625^{x + 4}$$

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Jollofa
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Re: Ecuación exponencial de base 5

Mensajepor Jollofa » 15 Ene 2017, 08:57

Resolución de la ecuación:

Escribimos las bases de las exponenciales como potencias cuya base sea un número primo (o un producto de primos): $125 = 5^3$ y $625 = 5^4$ Así, la ecuación queda como $$ (5^3)^{2x + 5}= (5^4)^{x + 4}$$ Aplicamos las propiedades de las potencias (la potencia de una potencia es la potencia cuyo exponente es el producto de los exponentes): $$ 5^{3\cdot 2x + 3\cdot 5}= 5^{4\cdot x + 4\cdot 4}$$ $$ 5^{6x + 15}= 5^{4x + 16}$$ Tenemos una ecuación entre dos potencias con la misma base y, por tanto, la igualdad se cumple cuando sus exponentes son iguales: $$ 6x + 15 = 4x + 16 $$ Resolvemos la ecuación de primer grado: $$ 6x-4x = 16 -15$$ $$ 2x = 1$$ $$x = \frac{1}{2}$$ Por tanto, la solución de la ecuación exponencial es $x = \frac{1}{2}$.


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