Cálculo de derivadas

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Isabel12
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Registrado: 05 Dic 2016, 13:45

Cálculo de derivadas

Mensajepor Isabel12 » 05 Dic 2016, 13:51

Supongamos que el costo de la producción en pesos de x toneladas de jitomate está dada por la siguiente función: c (x) = 5x2 + 3x

Es decir, para producir 1,150 toneladas de jitomate se necesitan c (1,150) = 5 (1,150)2 + 3(1,150) = 6,615,950 (seis millones seiscientos quince mil novecientos cincuenta pesos).

Si queremos saber cuánto se deberá pagar si se incrementa la producción a 30 toneladas más, hay que derivar la ecuación de la producción total y así obtener el costo del incremento de la producción. Para ello, se puede realizar el siguiente proceso:


Se deriva la función del costo de producción

c(x)= 5x2+3x

Para derivarla se utiliza la siguiente fórmula, que es para realizar una derivada de un polinomio:
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El resultado o la derivada de la función de producción total es:
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Responde:

• ¿Cuánto deberá pagarse por aumentar a 30 toneladas la producción, es decir, por producir 1,180 toneladas de jitomate?

• En esta situación ¿para qué se aplicó la derivada de la función de producción total?

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Jollofa
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Re: Cálculo de derivadas

Mensajepor Jollofa » 05 Dic 2016, 21:02

La función del coste de producción es $c (x) = 5x^2 + 3x$, siendo $x$ las toneladas que se producen.

Si se producen 1150 toneladas, el coste es de $$c(1150) = 5\cdot (1150)^2 + 3\cdot 1150 =6615950$$ Si se producen 30 toneladas más, es decir, si se producen 1180 toneladas, el coste es $$c(1180) = 5\cdot (1180)^2 + 3\cdot 1180 = 6965540$$ Hemos calculado los dos costes porque sabemos exactamente la función. La diferencia de los costes es $$6965540- 6615950 = 349590$$ Esta sería la forma de resolver el problema con los datos dados. Sin embargo, no siempre se dispone de una función $c$ tan precisa, o se conoce sólo su derivada.

Cuando se producen 1150, el costo real por unidad de tonelada es $$\frac{6615950}{1150} = 5753$$ Y cuando se producen 1180 toneladas, el costo por unidad es $$\frac{6965540}{1180} = 5903$$
La diferencia es un crecimiento de $5903-575=150$ por unidad. Es decir, al producirse 30 toneladas más, el costo de producir 1 tonelada es mayor.

También podemos calcular cuánto pagamos por cada tonelada de más: $$ \frac{|6615950-6965540|}{30} = 11653$$

En el problema, la derivada de la función $c$ es $$ c'(x) = 5\cdot 2 x + 3 = 10x +3$$ Según el teorema del Valor Medio (de Lagrange), bajo determinadas condiciones (continuidad y derivabilidad de la función $c$) existe un punto $z$ siendo $a\leq z \leq b$ para el que $$ c(b)-c(a) = c'(z)\cdot (b-a)$$ La interpretación del teorema es que la diferencia del costo es la diferencia de las unidades de toneladas multiplicada por $c'(z)$. Es decir, que por cada tonelada de más, pagaremos $c'(z)$.

El inconveniente de este resultado es que no conocemos de antemano el punto $z$, pero sí sabemos que $a \leq z\leq b$, por lo que podemos escribir, por ejemplo, $$ c(b)-c(a) \simeq c'(a)\cdot (b-a)$$

En nuestro caso, $a = 1150$ y $b = 1180$. Entonces, $$ c(1180)-c(1150) = 30\cdot c'(1180)$$ $$ 349590 = 30\cdot 11803$$ Entonces, pagaremos 11803 por cada tonelada extra. Obtenemos 11803 ya que hemos aproximado $z \approx a$.

Podemos calcular el valor exacto de $z$ a partir del teorema: $$ c(1180)-c(1150) = 30\cdot c'(z)$$ $$ 349590 = 30\cdot c'(z)$$ Entonces, $$ c'(z) = \frac{349590}{30} = 11653$$ Resolviendo la ecuación, $z = 1165$
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

Moderador global.

Isabel12
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Re: Cálculo de derivadas

Mensajepor Isabel12 » 06 Dic 2016, 13:44

Gracias por la ayuda :)


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