Ejercicios teóricos de Álgebra Lineal (matrices)

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frida
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Ejercicios teóricos de Álgebra Lineal (matrices)

Mensajepor frida » 20 Oct 2016, 20:33

lo que pasa es que no se cómo hacer los ejercicios teóricos de algebra lineal de Kolman, me han dejado los de la pág. 20 y no encuentro en ningún lado, no sé si me pueden ayudar, gracias! :D

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Jollofa
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Re: Ejercicios teóricos de Álgebra Lineal (matrices)

Mensajepor Jollofa » 20 Oct 2016, 21:52

En dicha página hay muchos problemas, pero son bastante básicos.
Puedes encontrar en la siguiente página algunos problemas similares:

Ejercicios teóricos de Matrices

Puedes preguntar algún problema en concreto y podemos resolverlo en el foro, pero no todos.

Ahora haré algunos problemas en otras respuestas.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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Jollofa
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Re: Ejercicios teóricos de Álgebra Lineal (matrices)

Mensajepor Jollofa » 20 Oct 2016, 22:01

Problema T.1. Demostrar que la suma y la resta de dos matrices diagonales es una matriz diagonal:

Sean $A $ y $B $ dos matrices de la misma dimensión $m x n $.
Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que las matrices son cuadradas, esto es, $m = n $. Esta suposición no cambia en absoluto la propiedad, simplemente facilita la demostración técnicamente hablando.

Suponemos que las matrices $A $ y $B $ son diagonales. Esto significa que todas las entradas de las matrices son 0, excepto las de la diagonal, que pueden ser distintas de 0.

Llamaremos $A(i,j) $ a la entrada de la fila $i $ y la fila $j $ de la matriz $A $ (notación MatLab).

Las diagonales de las matrices son las entradas $A(k,k) $ y $B(p,p), \forall 1\leq k,p \leq m $. Como las matrices son diagonales, entonces $A(i,j)=B(i,j)=0, \ si\ i\neq j $

La suma (o la resta) de las matrices se calcula sumando (o restando) los elementos de la misma posición. Es decir,
$$(A+B)(i,j) = A(i,j) + B(i,j)$$
Por tanto, si $i \neq j $, entonces $(A+B)(i,j) = 0+0 = 0 $, con lo que la matriz es diagonal.
La demostración es análoga para la resta.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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Re: Ejercicios teóricos de Álgebra Lineal (matrices)

Mensajepor Jollofa » 20 Oct 2016, 22:13

Problema T.4: Sean $O $ la matriz de ceros y $A $ otra matriz (de entradas reales), ambas de la misma dimensión y sea $k $ un número real. Demostrar que $k\cdot A = 0 $ si, y sólo si, $k=0 $ ó $A=O $.

Nota previa: utilizaremos la notación Matlab descrita en la respuesta anterior.
Demostración:

El producto del real $k $ por la matriz $A $ es la matriz que resulta al multiplicar todas las entradas de la matriz $A $ por el real $k $. Es decir, el elemento de la fila $i $ y la columna $j $ del producto $k\cdot A $ es
$$(k\cdot A)(i,j) = k\cdot A(i,j)$$.
La igualdad $k\cdot A = 0 $ implica que la matriz $$k\cdot A$$ está únicamente formada por 0's. Esto hecho implica a su vez que todos los productos son 0, es decir, $(k\cdot A)(i,j) = k\cdot A(i,j) = 0, \forall i,j $.

Inciso: tenemos que aplicar una propiedad del anillo de los números reales: el anillo de los reales es un dominio de integridad. Esto significa que si tenemos $a\cdot b = 0 $, entonces necesariamente $a=0 $ ó $b=0 $.

Continuando con la demostración, si todos los productos $k\cdot A(i,j) = 0 $, entonces $k = 0 $ ó $A(i,j)=0 $ y, por tanto, $k = 0 $ ó $A = O $ ($O $ es la matriz ceros).

La demostración sirve para demostrar tanto la condición suficiente como la necesaria.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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Re: Ejercicios teóricos de Álgebra Lineal (matrices)

Mensajepor Jollofa » 21 Oct 2016, 14:34

Problema T.7
Si $A $ es una matriz diagonal de dimensión $nxn $, ¿cuál es la diagonal de la matriz $A-A^T $?
Solución:
La matriz $A^T $ es la matriz transpuesta de $A $, que se define del siguiente modo:
$$(A^T)(i,j) = A(j,i),\ \forall 1\leq i,j \leq n$$
Las entradas de la diagonal de una matriz son las entradas que tienen la misma posición de fila y de columna, es decir, las entradas de la diagonal de $A $ son $A(i,i)\ \forall 1\leq i\leq n $, y las de su transpuesta son
$$(A^T)(i,i)=A(i,i)$$
Por tanto, las entradas de la diagonal de $A-A^T $ son
$$(A-A^T)(i,i) = A(i,i)-(A^T)(i,i) =$$$$=A(i,i)-A(i,i) = 0, \ \ \forall 1\leq i\leq n$$
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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frida
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Re: Ejercicios teóricos de Álgebra Lineal (matrices)

Mensajepor frida » 22 Oct 2016, 06:32

muchisimas gracias!! me ayudaste mucho!!

Enzo
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Re: Ejercicios teóricos de Álgebra Lineal (matrices)

Mensajepor Enzo » 30 Oct 2016, 15:29

Hola, necesito ayuda para demostrar lo siguiente:

Demostrar que si A es una matriz diagonalizable con valores propios no negativos entonces existe una matriz S tal que S^2=A

Gracias

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Re: Ejercicios teóricos de Álgebra Lineal (matrices)

Mensajepor _matesfacil_ » 30 Oct 2016, 17:12

Sabemos que la matriz $A $ de dimensión $nxn $ es diagonalizable.
Entonces, existen matrices $P $ regular y $D $ diagonal, de las mismas dimensiones, tales que
$$A=P\cdot D \cdot P^{-1}$$

La matriz $D $ es diagonal, $D=diagonal(d_1,...,d_n) $, siendo $d_i \geq 0 $ los valores propios.
Definimos la matriz $$D^* = diag(\sqrt{d_1},...,\sqrt{d_n})$$
Y la matriz $$B = P\cdot D^* \cdot P^{-1}$$
Calculamos la potencia $B^2 $:
$$B^2 = P\cdot D^* \cdot P^{-1} \cdot P\cdot D^* \cdot P^{-1} = P\cdot D^* \cdot D^* \cdot P^{-1}$$
Como $D^* $ es diagonal, entonces $$D^* \cdot D^* = (D^*)^2 = diag(\sqrt{d_1}^2,...,\sqrt{d_n}^2) = D$$
Luego tenemos
$$A=P\cdot D \cdot P^{-1} = B^2$$
La matriz $S $ que buscamos es $B $.
Espero que la respuesta te haya ayudado y que compartas nuestro foro con tu gente.
Gracias por tu aportación.

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Enzo
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Re: Ejercicios teóricos de Álgebra Lineal (matrices)

Mensajepor Enzo » 31 Oct 2016, 01:20

Espectacular! Muchas gracias, me fue de gran ayuda!

Yucateco94
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Registrado: 04 Abr 2018, 02:18

Re: Ejercicios teóricos de Álgebra Lineal (matrices)

Mensajepor Yucateco94 » 04 Abr 2018, 02:49

Hola me preguntaba si podían ayudarme con estos ejercicios de demostraciones:
1.Sean A y B matrices de n × n tales que A + B = Identidad y AB = 0.Demuestre que A^2 = A y B^2 = B.
2. Sea A una matriz de números reales de tamaño n × n tal que A^T A = 0. Demuestre que A = 0.


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