Toro como un conjunto cociente

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Kernel
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Toro como un conjunto cociente

Mensajepor Kernel » 14 Oct 2016, 17:50

La relación de equivalencia R definida sobre el conjunto C=[0,1]x[0,1] como (0,y)R(1,y) tiene un cilindro como conjunto ciciente, C/R.
Buscar otra relación R1 sobre C para obtener un toro y otra relación R2 para obtener la cinta de Möbius.

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Jollofa
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Re: Toro como un conjunto cociente

Mensajepor Jollofa » 15 Oct 2016, 11:04

Para obtener el cilindro como un conjunto cociente, lo que hacemos es identificar los puntos de los lados del cuadrado $C = \left[ 0,1 \right]\times \left[ 0,1 \right]$, es decir, queremos que los lados estén pegados.

Si los lados están pegados, los puntos del lado están en el mismo lugar, entonces, es como si tuviesen las mismas coordenadas.
Por ejemplo, el punto $(0, 0.5)$ debe estar en el mismo lugar que $(1,0.5)$. Entonces, podemos considerar que son el mismo punto.
Pero no podemos escribir $(0, 0.5) = (1, 0.5)$.

En cambio, el conjunto cociente nos permite construir este espacio. La relación $(0,y) \mathcal{R_1}(1,y), \forall y \in \left[ 0,1 \right]$ genera el cilindro.
Imagen

Para tener un toro tenemos que, además, identificar los laterales superiores.
Esto se consigue con $(x,0) \mathcal{R_2}(x,1), \forall x \in \left[ 0,1 \right]$

Imagen
$$Toro =\frac{\left[ 0,1 \right]\times \left[ 0,1 \right]}{ \{ \mathcal{R_1}, \mathcal{R_2} \} }$$

Para conseguir la cinta Möbius tenemos que fijarnos en las flechas del diagrama. Éstas indican la orientación a la hora de identificar los lados.
Para obtener la cinta tenemos que identificar los dos lados al igual que hicimos para conseguir el cilindro pero, por ejemplo, en vez de identificar el vértice $(0,0)$ con el vértice $(1,0)$, tenemos que identificarlo con $(1,1)$.

La relación es $(0,y) \mathcal{R}(1,1-y), \forall y \in \left[ 0,1 \right]$

Imagen
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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Kernel
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Re: Toro como un conjunto cociente

Mensajepor Kernel » 17 Oct 2016, 10:00

:D gracias


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