RESOLVER INTEGRAL

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pedro gutierrez
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RESOLVER INTEGRAL

Mensajepor pedro gutierrez » 10 Abr 2016, 03:41

Ayuda con esta integral ( x^4 + x^7) ^1/2 dx

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_matesfacil_
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Re: RESOLVER INTEGRAL

Mensajepor _matesfacil_ » 10 Abr 2016, 09:00

$$\int{ \sqrt{x^4 + x^7} } \ dx = \int{ \sqrt{x^4 (1 + x^3)} }\ dx =$$
$$= \int{x^2 \sqrt{1 + x^3} }\ dx = \int{x^2 (1 + x^3)^\frac{1}{2} }\ dx$$

La derivada de $1+x^3 $ es $3x^2 $. Por tanto, excepto una constante, la derivada del radicando se encuentra en el integrando. La introducimos:
$$\int{x^2 (1 + x^3)^\frac{1}{2} }\ dx =\frac{1}{3} \int{3x^2 (1 + x^3)^\frac{1}{2} }\ dx$$

La derivada de la potencia $( f(x) )^n $ es $n(f(x))^{n-1} \cdot f'(x) $. Es decir,
$$(*)\ \int{ n ( f(x))^{n-1} \cdot f'(x) }\ dx = ( f(x) )^n + C$$

Supongamos que
$$n-1 = \frac{1}{2}$$
ya que es la potencia que tenemos en el integrando. Entonces,
$$n = \frac{3}{2}$$
No tenemos $n $ multiplicando, así que lo introducimos:
$$\frac{1}{3} \int{3x^2 (1 + x^3)^\frac{1}{2} }\ dx = \frac{2}{3} \frac{1}{3} \int{\frac{3}{2} 3x^2 (1 + x^3)^\frac{1}{2} }\ dx =$$
$$= \frac{2}{9}\int{\frac{3}{2} (1 + x^3)^\frac{1}{2} \cdot 3x^2 }\ dx$$

Aplicando $(*) $ tenemos que
$$\int{ \sqrt{x^4 + x^7} } \ dx=\frac{2}{9}\int{\frac{3}{2} (1 + x^3)^\frac{1}{2} \cdot 3x^2 }\ dx = \frac{2}{9} (1+x^3) ^{\frac{3}{2}} + C$$


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