calcular derivada

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Kernel
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calcular derivada

Mensajepor Kernel » 04 Abr 2016, 21:09

intento derivar $\sqrt[x]{x} $
alguien me ayuda?

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Jollofa
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Re: calcular derivada

Mensajepor Jollofa » 05 Abr 2016, 09:49

La función es
$$y(x) = \sqrt[x]{x} = x ^{\frac{1}{x}} = f(x) ^{g(x)}$$
siendo $f(x)=x $ y $g(x) = \frac{1}{x} $

Llamamos $f' $ a la derivada de $f(x) $, es decir, $f' = \frac{\partial}{\partial x}f(x) $. Análogamente llamamos $g' $ a la derivada de $g(x) $.

Aplicamos logaritmos a
$$y = f^g$$
$$ln(y) = ln (f^g) = g\cdot ln(f)$$
Derivamos la expresión
$$ln(y) = g \cdot ln(f)$$
aplicando la regla de la cadena:

$$\frac{1}{y} \cdot y' = g' \cdot ln(f) + g\cdot \frac{1}{f} \cdot f'$$
Multiplicamos por $y $ y obtenemos la fórmula:
$$y' = y\left( g' \cdot ln(f) + g\cdot \frac{1}{f} \cdot f' \right)$$

Ahora sólo tenemos que calcular $f' $ y $g' $ en nuestro caso particular y sustituir en la fórmula:

$$f' = 1, \ \ g' = \frac{-1}{x^2}$$

Al sustituir obtenemos:

$$y' = x^{\frac{1-2x}{x}} (1 -ln(x))$$


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