Ecuación de segundo grado con parámetro
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Ecuación de segundo grado con parámetro
Les propongo resolver la siguiente ecuación de segundo grado siendo $A \neq 0 $
$$Ax^2-x-A^2x+A=0$$
$$Ax^2-x-A^2x+A=0$$
Re: Ecuación de segundo grado con parámetro
Por petición de algunos usuarios, vamos a dar una pista:
La ecuación es de segundo grado, así que para calcular las raíces debemos aplicar la fórmula:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
La dificultad del problema radica en identificar los términos $a, b, c $ en la ecuación y calcular las soluciones sin conocer el valor del parámetro $A $.
La ecuación es de segundo grado, así que para calcular las raíces debemos aplicar la fórmula:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
La dificultad del problema radica en identificar los términos $a, b, c $ en la ecuación y calcular las soluciones sin conocer el valor del parámetro $A $.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.
Moderador global.
Hasta la próxima.
Moderador global.
Re: Ecuación de segundo grado con parámetro
La ecuación es $$Ax^2 - (A^2+1)x + A = 0$$
Los términos son $$a = A$$$$b = -(A^2+1)$$$$c=A$$
Aplicamos la fórmula: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ Calculamos los términos: $$b^2 = (-(A^2+1))^2 = (A^2 + 1)^2 = A^4 + 2A^2 + 1$$$$4ac = 4A^2$$ Entonces, $$b^2- 4ac = A^4 + 2A^2 + 1-4A^2 = A^4 -2A^2 +1$$ Podemos escribir $$A^4 -2A^2 +1 = (A^2 - 1)^2$$ Por tanto, el discriminante es $$b^2- 4ac= (A^2 - 1)^2$$ Aplicamos la fórmula: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =$$$$= \frac{(A^2+1) \pm \sqrt{(A^2-1)^2}}{2A}$$ La raíz cuadrada se cancela con el cuadrado: $$x = \frac{(A^2+1) \pm (A^2-1)}{2A} =$$ $$= \frac{A^2+1 \pm (A^2-1)}{2A}=$$ Por tanto, las soluciones de la ecuación de segundo grado son\[ x =
\begin{cases}
\frac{A^2 + 1 + A^2 -1}{2A} = \frac{2A^2}{2A} = A\\
\frac{A^2 + 1 - A^2 +1}{2A} = \frac{2}{2A} = \frac{1}{A}\\
\end{cases}
\]
Los términos son $$a = A$$$$b = -(A^2+1)$$$$c=A$$
Aplicamos la fórmula: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ Calculamos los términos: $$b^2 = (-(A^2+1))^2 = (A^2 + 1)^2 = A^4 + 2A^2 + 1$$$$4ac = 4A^2$$ Entonces, $$b^2- 4ac = A^4 + 2A^2 + 1-4A^2 = A^4 -2A^2 +1$$ Podemos escribir $$A^4 -2A^2 +1 = (A^2 - 1)^2$$ Por tanto, el discriminante es $$b^2- 4ac= (A^2 - 1)^2$$ Aplicamos la fórmula: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =$$$$= \frac{(A^2+1) \pm \sqrt{(A^2-1)^2}}{2A}$$ La raíz cuadrada se cancela con el cuadrado: $$x = \frac{(A^2+1) \pm (A^2-1)}{2A} =$$ $$= \frac{A^2+1 \pm (A^2-1)}{2A}=$$ Por tanto, las soluciones de la ecuación de segundo grado son\[ x =
\begin{cases}
\frac{A^2 + 1 + A^2 -1}{2A} = \frac{2A^2}{2A} = A\\
\frac{A^2 + 1 - A^2 +1}{2A} = \frac{2}{2A} = \frac{1}{A}\\
\end{cases}
\]
Re: Ecuación de segundo grado con parámetro
Las soluciones son correctas. Gracias por tu aportación, Pablovsky.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.
Moderador global.
Hasta la próxima.
Moderador global.
Re: Ecuación de segundo grado con parámetro
Les propongo otro problema:
Encontrar las soluciones de la ecuación de segundo grado siguiente, siendo $m\in \mathbb{R} $ un parámetro desconocido:
$$x^2 + mx + \frac{m^2}{4} = 0$$
Encontrar las soluciones de la ecuación de segundo grado siguiente, siendo $m\in \mathbb{R} $ un parámetro desconocido:
$$x^2 + mx + \frac{m^2}{4} = 0$$
Un saludo!
Karma (Moderador Global)
Karma (Moderador Global)
Re: Ecuación de segundo grado con parámetro
$$ x^2 + mx + \frac{m^2}{4} = 0 $$
Identificamos los coeficientes de la forma general de la ecuación de segundo grado: $$a = 1$$ $$ b = m $$ $$ c = \frac{m^2}{4} $$
Las soluciones de la ecuación de segundo grado son $$ x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =$$ $$=\frac{-m\pm \sqrt{m^2-4\cdot 1\cdot \frac{m^2}{4}}}{2\cdot 1} =$$ $$=\frac{-m\pm \sqrt{m^2-m^2}}{2}=$$ $$=\frac{-m\pm \sqrt{0}}{2}= \frac{-m}{2}$$ Como el discriminante es 0, sólo existe una única raíz: $$x = \frac{-m}{2}$$
Identificamos los coeficientes de la forma general de la ecuación de segundo grado: $$a = 1$$ $$ b = m $$ $$ c = \frac{m^2}{4} $$
Las soluciones de la ecuación de segundo grado son $$ x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =$$ $$=\frac{-m\pm \sqrt{m^2-4\cdot 1\cdot \frac{m^2}{4}}}{2\cdot 1} =$$ $$=\frac{-m\pm \sqrt{m^2-m^2}}{2}=$$ $$=\frac{-m\pm \sqrt{0}}{2}= \frac{-m}{2}$$ Como el discriminante es 0, sólo existe una única raíz: $$x = \frac{-m}{2}$$
Re: Ecuación de segundo grado con parámetro
Pablovski escribió:...
Factorizando la expresion algebraica mediante el factor común por agrupación se obtiene x(ac-1) -a(ax-1) =0 ; (x -a) (ax-1)= 0 ; x = a ; x = 1/a . Saludos.
Re: Ecuación de segundo grado con parámetro
Javiermac escribió:...
Gracias por el aporte

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