Ecuación de segundo grado con parámetro

[Jollofa]

Les propongo resolver la siguiente ecuación de segundo grado siendo $A \neq 0 $
$$Ax^2-x-A^2x+A=0$$

[Jollofa]

Por petición de algunos usuarios, vamos a dar una pista:
La ecuación es de segundo grado, así que para calcular las raíces debemos aplicar la fórmula:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

La dificultad del problema radica en identificar los términos $a, b, c $ en la ecuación y calcular las soluciones sin conocer el valor del parámetro $A $.

[Pablovski]

La ecuación es $$Ax^2 - (A^2+1)x + A = 0$$
Los términos son $$a = A$$$$b = -(A^2+1)$$$$c=A$$
Aplicamos la fórmula: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ Calculamos los términos: $$b^2 = (-(A^2+1))^2 = (A^2 + 1)^2 = A^4 + 2A^2 + 1$$$$4ac = 4A^2$$ Entonces, $$b^2- 4ac = A^4 + 2A^2 + 1-4A^2 = A^4 -2A^2 +1$$ Podemos escribir $$A^4 -2A^2 +1 = (A^2 - 1)^2$$ Por tanto, el discriminante es $$b^2- 4ac= (A^2 - 1)^2$$ Aplicamos la fórmula: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =$$$$= \frac{(A^2+1) \pm \sqrt{(A^2-1)^2}}{2A}$$ La raíz cuadrada se cancela con el cuadrado: $$x = \frac{(A^2+1) \pm (A^2-1)}{2A} =$$ $$= \frac{A^2+1 \pm (A^2-1)}{2A}=$$ Por tanto, las soluciones de la ecuación de segundo grado son\[ x =
\begin{cases}
\frac{A^2 + 1 + A^2 -1}{2A} = \frac{2A^2}{2A} = A\\
\frac{A^2 + 1 - A^2 +1}{2A} = \frac{2}{2A} = \frac{1}{A}\\
\end{cases}
\]

[Jollofa]

Las soluciones son correctas. Gracias por tu aportación, Pablovsky.

[Karma]

Les propongo otro problema:
Encontrar las soluciones de la ecuación de segundo grado siguiente, siendo $m\in \mathbb{R} $ un parámetro desconocido:
$$x^2 + mx + \frac{m^2}{4} = 0$$

[Kernel]

$$ x^2 + mx + \frac{m^2}{4} = 0 $$
Identificamos los coeficientes de la forma general de la ecuación de segundo grado: $$a = 1$$ $$ b = m $$ $$ c = \frac{m^2}{4} $$
Las soluciones de la ecuación de segundo grado son $$ x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =$$ $$=\frac{-m\pm \sqrt{m^2-4\cdot 1\cdot \frac{m^2}{4}}}{2\cdot 1} =$$ $$=\frac{-m\pm \sqrt{m^2-m^2}}{2}=$$ $$=\frac{-m\pm \sqrt{0}}{2}= \frac{-m}{2}$$ Como el discriminante es 0, sólo existe una única raíz: $$x = \frac{-m}{2}$$