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Matriz nilpotente,

Publicado: 05 May 2019, 23:08
por jorge845
Buenas tardes, me pueden ayudar con este ejercicio por favor.

De antemano muchas gracias


Sean A, B ∈ Rn×n
.
Demuestre o refute los siguientes enunciados:

a) Si A es nilpotente y conmuta con B, entonces AB es nilpotente.

Re: Matriz nilpotente,

Publicado: 06 May 2019, 11:52
por Karma
Si $A$ es nilpotente, existe $k\in\mathbb{N}$ tal que $A^k = 0$.

Supongamos, para que sea más fácil de ver, que $k=2$. Entonces, $A^2 = 0$.

Como $A$ y $B$ conmutan, entonces $$(A·B)^2 = (A·B)·(A·B) = A·B·A·B = A^2 · B^2 = 0·B^2 = 0$$ Por tanto, $AB$ es nilpotente.

Para demostrarlo en el caso genérico, habría que hacerlo por inducción sobre $k$.