Sucesiones

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INJSc
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Sucesiones

Mensajepor INJSc » 24 Mar 2019, 05:11

Buenas, escribo para ver si me podrían solucionar una duda acerca de este tema.

Lo que no entiendo es Convergencia, monotonía y cotas, es decir la forma en la que se hallan. se supone que la convergencia se halla con el límite cuando n tiende a infinito pero entonces ¿cómo se hallan las cotas? ya que hay un teorema que dice " toda sucesión creciente o decreciente acotada es convergente" ¿este teorema sirve para dar seguridad de que al calcular el límite se hallará la convergencia y el acotamiento?

por cierto ¿las cotas únicamente se hallan con un límite al infinito? y por último ¿para asegurar monotonía es necesario usar inducción?

agradezco la ayuda de antemano.

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Jollofa
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Re: Sucesiones

Mensajepor Jollofa » 24 Mar 2019, 17:51

Las cotas pueden calcularse de muchas maneras. Por ejemplo, considera la sucesión $$a_n = \frac{1}{n}$$ Los primeros términos son
$a_1 = 1$
$a_2 = 0.5$
$a_3 = 0.25$
$a_4 = 0.125$

La sucesión $a_n$ está acotada por 1 y 0: $$ 0 < a_n \leq 1 $$ Alcanza la cota superior ($a_1=1$) y nunca alcanza la cota inferior (porque $1/n$ nunca es 0). Hemos calculado las cotas sin límites.

La sucesión $a_n$ es una sucesión acotada. Además, es monótona decreciente. Por el teorema al que te refieres, la sucesión converge. Converge a su límite cuando $n$ tiende a infinito, que es 0. El teorema es muy intuitivo: siempre decrece sin bajar de 0, es decir, se aproxima infinitamente a 0. En otras palabras, su límite es 0.

Ahora, supón, por ejemplo, que una sucesión $0 < A_n < 1$ no es monótona (ni creciente ni decreciente). Sus términos podrían ser, por ejemplo, 0.5, 0.2, 0.5, 0.2, 0.5, 0.2,.. Esta sucesión es oscilante, constante en las posiciones pares y en las impares, así que no es convergente. Siempre oscila. Esto es un ejemplo de que la monotonía es la clave del teorema. Por cierto, algunas sucesiones oscilantes pueden converger (y no son monótonas).

Para las cotas no es necesario calcular límites. Por ejemplo, $b_n = 2$ es acotada entre 2 y 2 (es constante) y convergente a 2.
Otro ejemplo, $c_n = cos(\pi/n)$ está acotada entre -1 y 1 (porque el coseno lo está) y su límite es 1 porque cos(0)=1.

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Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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