El número de Sofía

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Jollofa
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El número de Sofía

Mensajepor Jollofa » 09 Abr 2018, 11:10

Sofía ha escrito con tiza un número de tres cifras. Su hermano Leo borra la cifra de las centenas y le dice:
“Mira, ahora tu número ha sido dividido por 5”.
¿Cuál puede ser el número escrito por Sofía?
Encuentra todas las respuestas posibles y explica cómo las has identificado.

Fuente: Proyecto Newton

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Re: El número de Sofía

Mensajepor Jollofa » 09 Abr 2018, 11:23

El número de tres cifras es $abc$. Al borrar las centenas, se obtiene $bc$.

Como $bc$ es el resultado de dividir $abc$ entre 5, entonces $abc$ es $5\cdot bc$. Además, como $abc$ es múltiplo de 5, su última cifra debe ser 0 ó 5 (por tanto, $c=0$ ó $c = 5$).

Escribimos la ecuación $abc$ igual a $5\cdot bc$: $$ 100a+10b+c = 5\cdot (10b +c) $$ Supongamos que $c=0$. Entonces, $$ 100a+10b = 5\cdot (10b) $$ $$ 10a+b = 5\cdot b $$ $$ 10a = 4b $$ $$b = \frac{10}{4}\cdot a = \frac{5}{2}\cdot a $$ Las únicas posibilidades que hay para que $a$ y $b$ sean números naturales y de un dígito es $a = 2, b=5$.

El número $abc$ es $250$ y se cumple $5\cdot bc = 5\cdot 50 = 250 = abc$.

Supongamos ahora que $c=5$. Entonces, $$ 100a+10b +5= 5\cdot (10b+5) $$ $$ 20a+2b +1=10b+5 $$ $$ 20a=8b+4 $$ $$ 5a=2b+1 $$ $$ b = \frac{5a-1}{2} $$Las únicas posibilidades que hay para que $a$ y $b$ sean números naturales y de un dígito son $a = 1, b=2$ y $a = 3, b=7$.

  • En el primer caso, el número $abc$ es $125$ y se cumple $5\cdot bc = 5\cdot 25 = 125 = abc$.
  • En el segundo caso, el número $abc$ es $375$ y se cumple $5\cdot bc = 5\cdot 75 = 375 = abc$.


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