Caja sin tapa

Aplicaciones del Cálculo Diferencial: problemas relacionados con la optimización.
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Jollofa
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Caja sin tapa

Mensajepor Jollofa » 03 Nov 2016, 14:28

Se construye una caja sin tapa a partir de una plancha de madera de $20x12m$, cortando cuadrados de lado $x$ en cada esquina. Hallar las dimensiones de la caja con capacidad máxima.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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Re: Caja sin tapa

Mensajepor Jollofa » 03 Nov 2016, 14:45

Imagen

Llamamos $x$ al lado de los cuadrados.

Los rectángulos oscuros son los lados de la caja (de altura $x$). El rectángulo claro es la base de la caja.

Las dimensiones de la caja son:
La base tiene lados $12-2x$ y $20-2x$.
El volumen de la caja es el producto de las tres dimensiones:
$$V(x) = (12-2x)(20-2x)x = 240x-64x^2+4x^3$$
Cuya derivada es
$$ V\ ' (x) = 12x^2 - 128x + 240$$
Los puntos críticos son, aproximando para evitar las raíces,
$$x = 2.427,\ 8.239$$
El primero de los puntos es un máximo.
En realidad, si nos fijamos en la gráfica, a partir de $x \simeq 11$, el volumen de la caja crece, pero no tiene mucho sentido una caja de tales dimensiones...
Imagen
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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