Volumen de Cilindro y Semiesfera

Aplicaciones del Cálculo Diferencial: problemas relacionados con la optimización.
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Volumen de Cilindro y Semiesfera

Mensajepor Jollofa » 03 Nov 2016, 13:02

Un depósito de granos es construido acoplando a un cilindro circular recto de altura $h $ y radio $r$, una semiesfera de radio $r$. Si el área total de la superficie del depósito es $20\pi m^2$, determinar el valor del radio y de la altura para que el volumen sea máximo.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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Re: Volumen de Cilindro y Semiesfera

Mensajepor Jollofa » 03 Nov 2016, 13:58

Imagen

Datos que necesitamos:

Cilindro:
  • El área del lateral del cilindro es su altura, $h$, por el perímetro de la base (circunferencia):
    $$ A_{cilindro} = 2\pi rh$$
  • El volumen del cilindro es
    $$V_{cilindro} = \pi r^2 h$$
Esfera:
  • El área de la esfera es
    $$ A_{esfera} = 4\pi r^2$$
  • El volumen de la esfera es
    $$V_{esfera} = \frac{4\pi r^3}{3} $$
Por tanto, dividiendo entre 2, tenemos el área y volumen de la semiesfera:
$$A_{semiesfera} = 2\pi r^2$$
$$V_{semiesfera} = \frac{2\pi r^3}{3}$$

El área total del depósito es $20 \pi$:
$$ A_{total} = A_{cilindro} + A_{semiesfera} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 20\pi$$
$$ 2\pi (rh + r^2) = 20\pi \Rightarrow rh + r^2 = 10$$
De esta ecuación podemos obtener $h$ en función de $r$:
$$ h = \frac{10-r^2}{r} $$
El volumen del depósito es
$$ V_{total} =V_{cilindro} + V_{semiesfera} = \pi r^2 h + \frac{4\pi r^3}{3}$$
Sustituimos $h$ por la expresión anterior:
$$ V_{total} = \pi r^2 \left( \frac{10-r^2}{r} \right) + \frac{2\pi r^3}{3}$$
Operando,
$$V_{total} = 10\pi r - r^3\frac{\pi}{3}$$
Como el volumen es función del radio, $r$, escribimos
$$V(r) = 10\pi r - r^3\frac{\pi}{3}$$
Vamos a buscar un máximo para esta función.
Derivamos:
$$V\ ' (r) = 10\pi - r^2 \pi $$
Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación:
$$ 0 = 10\pi - r^2 \pi \Rightarrow r=\pm \sqrt{10}$$
Evaluando la derivada en los intervalos que determinan los puntos anteriores, observamos que la función $V$ es decreciente, creciente y decreciente. Por tanto, podemos deducir que existe un máximo en $r=\sqrt{10}$.
Los valores de $r$ y $h$ para que el volumen sea máximo son
$$ r = \sqrt{10}$$
$$ h = \frac{10-r^2}{r} = 0 $$
Esto significa que el depósito tiene volumen máximo cuando tiene forma de semiesfera.
Espero que tu duda haya sido resuelta.
Hasta la próxima.

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