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Para que la función sea continua en $x=5$, los límites laterales cuando $x\to 5$ de $f(x)$ deben coincidir. Por tanto, debe cumplirse $$ k^2(5-4) = (k+1)·5+1$$

Ya hicimos algunos comentarios en este tema: http://foro.matesfacil.com/viewtopic.php?t=829

a) $y = -3$
b) $y = -2x-2$

Es correcto, pero puedes simplificar sumando las fracciones del numerador y obtener $$ \frac{3x(x^3-4)}{4\sqrt{(1-x^3)^3}}$$

Exacto, la forma más fácil es definir $f(2) = \sqrt{2}/4$

No hay un orden concreto para trabajar con paréntesis. Puedes empezar a resolver como quieras. Si los pasos y la prioridad de las operaciones son correctos, no importa el orden. En las ecuaciones a las que te refieres, se indican las pasos que se siguen precisamente porque hay muchas formas de resol...

Hay que tener en cuenta el resultado al que quieres llegar.
Numerador: $$ 4xy^4+6x^2y^3+2x^3y^2 = 2xy^2(2y^2+3xy+x^2)$$ El paréntesis es $$ 2y^2+3xy+x^2 = (x+2x)(x+y)$$ Por tanto, tenemos $$ \frac{2xy^2(x+2x)(x+y)}{(x+y)^3} = \frac{2xy^2(x+2x)}{(x+y)^2} = 2·\frac{\partial Z}{\partial x}$$

Es la constante de integración. La integral es fácil usando $$ x+x^\frac{1}{3} = (x^\frac{2}{3}+1)·x^\frac{1}{3}$$ Integramos: $$ \int{\frac{1}{x+x^\frac{1}{3}}}dx = \frac{3}{2}·ln(x^\frac{2}{3}+1) + K $$ Sea $C>0$ tal que $K = \frac{3}{2}·ln(C)$, entonces $$ \frac{3}{2}·ln(x^\frac{2}{3}+1) + K = $$...

El procedimiento es correcto, pero hay un error en el cálculo de la integral: No has calculado bien la raíz: $$ \sqrt{1+\left( -\frac{1}{2}\right)^2 } = \sqrt{1+\frac{1}{4}} =$$ $$ = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$ $$ \int_{-1}^1{(1-y)dy} = (y-y^2/2)|_{-1} ^1 = 2 $$ Por tanto, el área late...

La primera es falsa. Por ejemplo, las subsucesiones $a_{2n} = 1$ y $a_{2n+1} = -1$ convergen a $1$ y a $-1$, respectivamente. Pero $a_n$ no converge (porque los límites son distintos). La sucesión $a_n$ es oscilante: 1, -1, 1, -1,... Este problema se soluciona en el apartado (b), porque tomando el m...